[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1973年(昭和48年)東京大学-数学(理科)[2]

2023.08.09記

[2] $x_1$ ， $x_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $x_n$ はおのおの $0$ ， $1$ ， $2$ のどれかの値をとる． $f_1=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i$ ， $f_2=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2$ のとき
$f_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^k$
（ $k=1$ ， $2$ ， $3$ ， $\cdots\cdots$ ）
を $f_1$ と $f_2$ とを用いて表わせ．

2023.08.09記

[解答]
$x_1$ ， $x_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $x_n$ のうち， $1$ が $a$ 個， $2$ が $b$ 個だとすると $f_1=a+2b$ ， $f_2=a+4b$ だから $a=2f_1-f_2$ ， $b=2^{-1}(f_2-f_1)$ となり，
$f_k=a+2^kb=(2f_1-f_2)+2^{k-1}(f_2-f_1)$ $(-2^{k-1}+2)f_1+(2^{k-1}-1)f_2$
となる．