2021年(令和3年)九州大学後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2]

$M$ を $2$ 以上の自然数， $p$ を実数として，次の条件によって定められる $3M$ 個の項からなる数列 $a_1，a_2，a_3，\ldots，a_{3M}$ を考える．
$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=\dfrac{3n+p}{27M^3}，a_1=0，a_2=0$

(1) $b_n = a_{n+1} - a_n（n=1，2，\ldots，3M -1）$ とするとき, 数列 $b_1，b_2，\ldots，b_{3M-1}$ の一般項 $b_n$ を求めよ．

(2) 数列 $a_1，a_2，a_3，\ldots，a_{3M}$ の一般項 $a_n$ を求めよ．さらに $a_{3M}= 0$ を満たす $p$ を $p_M$ とするとき， $p_M$ を $M$ の式で表せ．

(3) (2) で求めた $p_M$ について， $p = p_M$ の場合における数列 $a_1，a_2，a_3，\ldots，a_{3M}$ の中で最小の項を $c_M$ とする． $a_n = c_M$ となるすべての $n$ を $M$ の式で表せ．さらに， $\displaystyle \lim_{M\to\infty} c_M$ を求めよ．

2021.03.19記

[大人の解答]

階差演算子 $\Delta$ ，つまり $\Delta a_n=a_{n+1}-a_n$ を用いて $\Delta^2 a_n=\dfrac{3n+p}{27M^3}$ となる．階差を2回とったら $n$ の1次式になるので， $a_n$ は $n$ の3次式であり， $a_1=a_2=0$ であるから， $a_n=C(n-1)(n-2)(n-k)=Cn(n-1)(n-2)-kC(n-1)(n-2)$ となる．

ここで $\Delta a_n=3Cn(n-1)-2kC(n-1)$ ， $\Delta^2 a_n=6Cn-2kC=2C(3n-k)$ であるから， $2C(3n-k)=\dfrac{3n+p}{27M^3}$ となり， $C=\dfrac{1}{54M^3}$ ， $k=-p$ となる．

よって $a_n=\dfrac{(n-1)(n-2)(n+p)}{54M^3}$ ， $b_n=\Delta a_n = C(n-1)(3n-2k)=\dfrac{(n-1)(3n+2p)}{54M^3}$
となる．

ここで $a_{3M}=0$ より $p_M=-3M$ だから $a_n=\dfrac{(n-1)(n-2)(n-3M)}{54M^3}$ ， $b_n=\dfrac{(n-1)(n-2M)}{18M^3}$ となる．

階差 $b_n$ の正負に着目すると
$a_1=a_2\gt a_3\gt \cdots \gt a_{2M}=a_{2M+1} \lt a_{2M+2}\lt \cdots\lt a_{3M}$
となるので， $a_n$ は $n=2M,2M+1$ のときに最小値 $a_n=-\dfrac{(2M-1)(M-1)}{27M^2}$ をとるので， $M\to\infty$ で $-\dfrac{2}{27}$ に収束する．

以上から，

(1) $b_n=\dfrac{(n-1)(3n+2p)}{54M^3}$

(2) $a_n=\dfrac{(n-1)(n-2)(n+p)}{54M^3}$ ， $p_M=-3M$

(3) $a_n=c_M$ となるすべての $n$ は $2M,2M+1$ であり， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} c_M=-\dfrac{2}{27}$

となる．

まぁ，普通に

[解答]

(1) $b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}$ により $b_{n+1}-b_{n}=\dfrac{3n+p}{27M^3}$ が成立するので，
$b_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{3k+p}{27M^3}$ $=\dfrac{3\dfrac{n(n-1)}{2}+p(n-1)}{27M^3}$ $=\dfrac{(n-1)(3n+2p)}{54M^3}$ となる．

(2) $a_n=b_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}=\dfrac{3k(k-1)+2p(k-1)}{54M^3}$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}=\dfrac{n(n-1)(n-2)+p(n-1)(n-2)}{54M^3}$ $=\dfrac{(n-1)(n-2)(3n+3p)}{54M^3}$ $=\dfrac{(n-1)(n-2)(n+p)}{54M^3}$ であるが， $a_{3M}=0$ より $p_M=-3M$ である．

(3) $a_n=\dfrac{(n-1)(n-2)(n-3M)}{54M^3}$ ， $b_n=\dfrac{(n-1)(n-2M)}{18M^3}$ となる．階差 $b_n$ の正負に着目すると
$a_1=a_2\gt a_3\gt \cdots \gt a_{2M}=a_{2M+1} \lt a_{2M+2}\lt \cdots\lt a_{3M}$
となるので， $a_n$ は $n=2M,2M+1$ のときに最小値 $a_n=-\dfrac{(2M-1)(M-1)}{27M^2}$ をとるので， $a_n = c_M$ となる $n$ をすべて求めると $n=2M，2M+1$ である．このとき $c_M=a_{2M}=a_{2M+1}=-\dfrac{(2M-1)(M-1)}{27M^2}$ であるから，
$\displaystyle \lim_{M\to\infty} c_M$ $=-\displaystyle \lim_{M\to\infty} \dfrac{\Bigl(2-\dfrac{1}{M}\Bigr)(\Bigl(1-\dfrac{1}{M}\Bigr)}{27}$ $=-\dfrac{2}{27}$ である．

でいいかな．

(おまけ) 和分の記号として積分記号に対応するものとして， f:id:spherical_harmonics:20210319122150j:plain というものがある．