1973年(昭和48年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[1] $\mbox{S}$ を中心 $\mbox{O}$ ，半径 $a$ の球面とし， $\mbox{N}$ を $\mbox{S}$ 上の $1$ 点とする．点 $\mbox{O}$ において線分 $\mbox{ON}$ と $\dfrac{\pi}{3}$ の角度で交わるひとつの平面の上で，点 $\mbox{P}$ が点 $\mbox{O}$ を中心とする等速円運動をしている．その角速度は毎秒 $\dfrac{\pi}{12}$ であり，また $\overline{\mbox{OP}}=4a$ である．点 $\mbox{N}$ から点 $\mbox{P}$ を観測するとき， $\mbox{P}$ は見えはじめてから何秒間見えつづけるか．また $\mbox{P}$ が見えはじめた時点から見えなくなる時点までの， $\overline{\mbox{NP}}$ の最大値および最小値を求めよ．ただし球面 $\mbox{S}$ は不透明であるものとする．

2023.08.09記

[解答]
$\mbox{N}$ における $\mbox{S}$ の接平面と点 $\mbox{P}$ の動く平面の交線を $l$ とすると， $\mbox{O}$ と $l$ の距離は $\dfrac{a}{\cos(\pi/3)}=2a$ であり，点 $\mbox{P}$ の描く円の半径が $4a$ であるから，点 $\mbox{P}$ の描く円の中心角が $\dfrac{2\pi}{3}$ の部分だけ観測できることになる．点 $\mbox{P}$ の角速度が毎秒 $\dfrac{\pi}{12}$ であることから，8秒間見えつづける．

また， $\mbox{N}$ から点 $\mbox{P}$ の動く平面に下した垂線の足と $\mbox{P}$ の距離が $\dfrac{a}{2}$ であることから

$\overline{\mbox{NP}}$ の最大値は $\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}a\right)^2+\left(2\sqrt{3}a\right)^2}=\sqrt{15}a$

$\overline{\mbox{NP}}$ の最小値は $\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2+\left(\dfrac{7}{2}a\right)^2}=\sqrt{13}a$

空間の円周のパラメータ表示を用いる．

[解答]
$\mbox{O}(0,0,0)$ ， $\mbox{N}(0,0,a)$ ，
$\mbox{P}\left(2\sqrt{3}a\cos\dfrac{\pi t}{12},4a\sin\dfrac{\pi t}{12},2a\cos\dfrac{\pi t}{12}\right)$
とおくことができ，Pが見える条件は
$2a\cos\dfrac{\pi t}{12}\geqq a$
より
$\cos\dfrac{\pi t}{12}\geqq \dfrac{1}{2}$
となることから， $-\dfrac{\pi}{3}\leqq \dfrac{\pi t}{12}\leqq \dfrac{\pi}{3}$ となり，
$-4\leqq t\leqq 4$ から8秒間見えつづける．

また， $\overline{\mbox{NP}}^2$ $=17a^2-4a^2\cos\dfrac{\pi t}{12}$ であり，
$-\dfrac{\pi}{3}\leqq \dfrac{\pi t}{12}\leqq \dfrac{\pi}{3}$
から $\dfrac{1}{2}\leqq \cos\dfrac{\pi t}{12}\leqq 1$ であるから
$13a^2\leqq \overline{\mbox{NP}}^2\leqq 15a^2$
となる．