1973年(昭和48年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[3] 区間 $1\leqq x\leqq 3$ において次のように定義された関数 $f(x)$ がある．
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & (1 \leqq x \leqq 2), \\ x-1 & (2 \leqq x \leqq 3). \end{array} \right.$
いま実数 $a$ に対して，区間 $1\leqq x\leqq 3$ における関数 $f(x)-ax$ の最大値から最小値を引いた値を $V(a)$ とおく．このとき次の問に答えよ．

(i) $a$ がすべての実数にわたって動くとき， $V(a)$ の最小値を求めよ．

(ii) $V(a)$ の最小値を与えるような $a$ の値を求めよ．

2023.08.09記

[解答]
$F(x,a)=f(x)-ax$ とおくと $F(1,a)=1-a$ ， $F(2,a)=1-2a$ ， $F(3,a)=2-3a$ のうちの最大のものから最小のものを引いた値が $V(a)$ であり，それは $ab$ 平面の3直線 $b=1-a$ ， $b=1-2a$ ， $b=2-3a$ を描いたときの縦幅となる．

これを図示（略）することによって $V(a)$ は $a=\dfrac{1}{2}$ のときにのみ最小値 $\dfrac{1}{2}$ をとる．

[解答]
$F(x,a)=f(x)-ax$ とおくと $F(1,a)=1-a$ ， $F(2,a)=1-2a$ ， $F(3,a)=2-3a$ のうちの最大のものから最小のものを引いた値が $V(a)$ であり，それは
$|F(1,a)-F(2,a)|=|a|$ ， $|F(2,a)-F(3,a)|=|a-1|$ ， $|F(1,a)-F(3,a)|=|2a-1|$
のうちの最大のものとなる．

これを図示（略）することによって $V(a)$ は $a=\dfrac{1}{2}$ のときにのみ最小値 $\dfrac{1}{2}$ をとる．