1973年(昭和48年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[5] $t$ は $1$ より大きい実数とする．
$xy$ 平面上において，不等式

(1) $0\lt x$

(2) $\dfrac{t}{(1+t^2)x}\leqq y \leqq\dfrac{1}{1+x^2}$

を同時に満たす点 $(x,y)$ 全体のつくる図形の面積を $t$ の関数と考えて $f(t)$ とおく． $f(t)$ の導関数 $f'(t)$ を求めよ．

2023.08.09記

[解答]
$\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{t}{(1+t^2)x}$ $=-\dfrac{t\left(x-\dfrac{1}{t}\right)(x-t)}{(1+x^2)(1+t^2)x}\geqq 0$
と $0\lt x$ から $\dfrac{1}{t}\leqq x\leqq t$ の区間において確かに(1)(2)を同時に満たす点が存在し，その面積は
$f(t)=\displaystyle\int_{1/t}^t \left\{\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{t}{(1+t^2)x}\right\}dx$
$=\displaystyle\int_{1/t}^t \dfrac{1}{1+x^2}dx-\dfrac{t}{1+t^2}\cdot 2\log t$
となる．よって
$f'(t)=\dfrac{1}{1+t^2}-\dfrac{1}{1+t^{-2}}\cdot \left(-\dfrac{1}{t^2}\right)$
$-2\dfrac{(\log t+1)(t^2+1)-t\log t\cdot 2t}{(1+t^2)^2}$
$=\dfrac{2(t^2-1)\log t}{(1+t^2)^2}$

$\displaystyle\int_{1/t}^t \dfrac{1}{x}dx$ $=\displaystyle\int_{1}^{t^2} \dfrac{1}{x}dx$ $=\log t^2=2\log t$
とすると少し楽．