2021年(令和3年)大阪大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3]

$n$ を自然数とし, $t$ を $t\geqq 1$ をみたす実数とする．

(1) $x\geqq t$ のとき，不等式
$-\dfrac{(x-t)^2}{2}\leqq\log x-\log t-\dfrac{1}{t}(x-t)\leqq 0$
が成り立つことを示せ．

(2)不等式
$-\dfrac{1}{6n^3}\leqq\displaystyle\int_{t}^{t+\frac{1}{n}} \log x dx-\dfrac{1}{n}\log t -\dfrac{1}{2tn^2}\leqq 0$
が成り立つことを示せ．

(3) $a_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \log \Bigl(1+\dfrac{k}{n}\Bigr)$ とおく． $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-pn)=q$ をみたすような実数 $p,q$ の値を求めよ．

2021.02.25記

[解答]

(1) $f(x)=\dfrac{1}{t}(x-t)-(\log x-\log t)$ とおくと $f'(x)=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{x}\geqq 0$ ， $f(t)=0$ により $f(x)\geqq 0（t\leqq x）$

$g(x)=\dfrac{(x-t)^2}{2}-f(x)$ とおくと $g'(x)=x-t-f'(x)$ ， $g''(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\gt 0$ ， $g'(t)=0$ により $g'(x)\geqq 0（t\leqq x）$ となる．また $g(t)=0$ により $g(x)\geqq 0（t\leqq x）$

(2) (1)の両辺を $t$ から $t+\dfrac{1}{n}$ まで積分すると題意の不等式になる．

(3) (2) で $t=1,1+\dfrac{1}{n},1+\dfrac{2}{n},\ldots,1+\dfrac{n-1}{n}$
としたものを合計することにより
$-\dfrac{1}{6n^2}\leqq\displaystyle\int_1^2\log x dx-\dfrac{1}{n} a_n -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n+k}\leqq 0$

つまり $-\dfrac{1}{6n}\leqq n(2\log2-1)-a_n-\displaystyle\dfrac{1}{2}\cdot\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n+k}\leqq 0$ となる．

ここで区分求積法により， $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n+k}$ $\to\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x}dx=\log 2$ だから，はさみうちの原理により $n(2\log2-1)-a_n-\dfrac{1}{2}\log 2\to 0$ となる．

よって $p=2\log 2-1$ ， $q=-\dfrac{1}{2}\log 2$