[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1974年(昭和49年)東京大学-数学(理科)[1]

2023.08.09記

[1] 自然数 $n$ ， $p$ に対し， $n^p$ を十進法で書いたときの $1$ の位の数を $f_p(n)$ で表わす．ただし，自然数とは， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $\cdots\cdots$ のことである．

(1) $n$ が自然数の全体を動くとき， $f_2(n)$ の取る値を全部求めよ．

(2) あらゆる自然数 $n$ に対して， $f_5(n)=f_1(n)$ が成りたつことを証明せよ．

(3) $n$ が自然数の全体を動くとき， $f_{100}(n)$ の取る値を全部求めよ．

2023.08.09記

[解答]
(1) $n=0，1，\ldots，9$ で調べれば十分で $0，1，4，9，6，5$ となる．

(2) $n^5-n$ は偶数であるから， $n^5-n$ が5の倍数であることを示せば良い．

$\mod 5$ で
$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ $\equiv n(n-1)(n+1)(n^2-4)$ $\equiv n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$
であり，連続5整数の中には5の倍数が必ず含まれるので， $\mod 5$ で $n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)\equiv 0$ となるので題意は示された．

(3) (2)より $f_{5k}(n)$ $=f_{5}(n^{k})$ $=f_{1}(n^{k})$ $=f_{k}(n)$ だから
$f_{100}(n)$ $=f_{20}(n)$ $=f_{4}(n)$ $=f_{2}(n^2)$
となり，(1)より
$0^2，1^2，4^2，9^2，6^2，5^2$ を考えて $0，1，5，6$ となる．