2005年(平成17年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[1] $x\gt 0$ に対し $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ とする．

(1) $n=1$ ， $2$ ，…… に対し $f(x)$ の第 $n$ 次導関数は，数列 $\{a_n\}$ ， $\{b_n\}$ を用いて
$f^{(n)}(x)=\dfrac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}}$
と表されることを示し， $a_n$ ， $b_n$ に関する漸化式を求めよ．

(2) $h_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$ とおく． $h_n$ を用いて $a_n$ ， $b_n$ の一般項を求めよ．

2021.01.31記

[解答]
(1) $n=1$ のとき $f'(x)=\dfrac{1-\log x}{x}$ より題意をみたし， $a_1=1，b_1=-1$

$n=k$ のとき題意をみたすとすると
$f'^{(k+1)}=\dfrac{-(k+1)a_k+b_k-(k+1)b_k \log x}{x^{n+2}}$
より $n=k+1$ も題意をみたすので，数学的帰納法により任意の自然数 $n$ について題意をみたし，
$a_{n+1}=-(n+1)a_n+b_n$ ， $b_{n+1}=-(n+1)b_n$

(2) $b_1=-1$ ， $b_{n+1}=-(n+1）b_n$ より $b_n=(-1)^n n!$ である．
よって $a_{n+1}=-(n+1)a_n+(-1)^n n!$ となり，
$\dfrac{(-1)^{n+1}a_{n+1}}{(n+1）!}=\dfrac{(-1)^n a_n}{n!}-\dfrac{1}{n+1}$ となる．
よって，
$\dfrac{(-1)^n a_n}{n!}=-1 - \displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k}=-h_n$ となり，
$a_n=(-1)^{n+1} h_n n!$
となる．