1974年(昭和49年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[2] 長さ $l$ の線分が，その両端を放物線 $y=x^2$ の上にのせて動く．この線分の中点 $\mbox{M}$ が $x$ 軸にもっとも近い場合の $\mbox{M}$ の座標を求めよ．ただし $l\geqq 1$ とする．

2023.08.09記

[解答]
$\mbox{M}(X,Y)$ とおき，線分の両端の $x$ 座標を $p,q$ とおくと
$p+q=2X$ ， $p^2+q^2=2Y$ ， $(p-q)^2+(p^2-q^2)^2=l^2$
であるから， $(p-q)^2\{1+(p+q)^2\}=l^2$ ， $4X^2-2Y=2pq$ に注意して
$(4Y-4X^2)(1+4X^2)=l^2$ ，つまり
$Y=\dfrac{1}{4}\left(4X^2+\dfrac{l^2}{1+4X^2}\right)$ となる．
ここで $k=1+4X^2$ とおくと， $k\geqq 1$ であり，
$Y=\dfrac{1}{4}\left(k+\dfrac{l^2}{k}-1\right)$ となる．
ここでAM-GMより
$k+\dfrac{l^2}{k}\geqq 2l$ （等号成立は $k=l$ ）
であり， $l\geqq 1$ であるから， $k\geqq 1$ の範囲で等号は成立する．よって $X=\pm\dfrac{\sqrt{l-1}}{2}$ のとき $Y$ は最小値 $\dfrac{2l-1}{4}$ をとる．
よって求める座標は
$\left(\pm\dfrac{\sqrt{l-1}}{2},\,\dfrac{2l-1}{4}\right)$
となる．