1974年(昭和49年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.11記

[5] 原点 $\mbox{O}$ に中心をもつ半径 $2$ の固定された円板を $\mbox{A}$ とする．半径 $1$ の円板 $\mbox{B}$ を，その中心 $\mbox{C}$ が点 $(3,0)$ に重なるように置くとき，点 $(4,0)$ に重なる $\mbox{B}$ の周上の点を $\mbox{M}$ とする． $\mbox{B}$ を， $\mbox{A}$ の周囲に沿って滑らないようにころがして， $\mbox{OC}$ が $x$ 軸の正の方向となす角が $\theta$ になったときの， $\mbox{M}$ の位置の座標を $(\mbox{X},\mbox{Y})$ とする．

$\theta$ が $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで動くとして，次の問に答えよ．

(1) $\mbox{X}$ と $\mbox{Y}$ とを $\theta$ の関数として表わせ．

(2) $\mbox{Y}$ の最大値を求めよ．

(3) $\mbox{M}$ の描く曲線の弧の長さを求めよ．

2023.08.11記

[解答]
(1) $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の半径の比が $2:1$ であるから，
$\mbox{C}$ の偏角が $\theta$ のときの
$\mbox{M}$ の偏角は $3\theta$ である．よって
$X=3\cos\theta+\cos3\theta$ ，
$Y=3\sin\theta+\sin3\theta$
となる．

(2) $\dfrac{dX}{d\theta}=-3\sin\theta-3\sin3\theta=-6\sin2\theta\cos\theta$ ，
$\dfrac{dY}{d\theta}=3\cos\theta+3\cos3\theta=6\cos2\theta\cos\theta$
であるから，増減表（略）から $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のときに最大値 $2\sqrt{2}$ をとる．

(3) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{\left(\dfrac{dX}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dY}{d\theta}\right)^2}d\theta$
$=6\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos\theta\, d\theta$ $=6$