[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1975-01-14

1975年(昭和50年)東京大学-数学(文科)[3]

2023.08.11記

[3] 二つの放物線 $y=x^2$ と $y=-{(x-a)}^2+b$ とによって囲まれる図形の面積が $\dfrac{1}{3}$ となるための必要十分条件を $a$ ， $b$ を用いて表せ．

2023.08.12記

[解答]
2つの放物線の交点の $x$ 座標を $\alpha,\beta$ （ $\alpha\lt\beta$ ）とすると
2つの放物線で囲まれる部分の面積から
$\dfrac{2}{6}(\beta-\alpha)^3=\dfrac{1}{3}$
となり， $\beta-\alpha=1$ となる．また，
$-2(x-\alpha)(x-\beta)$ $=-(x-a)^2+b-x^2$ $=-2x^2+2ax-(a^2-b)$
が成立するので， $\alpha,\beta$ は
$x^2-ax+\dfrac{a^2-b}{2}=0$
の2解であるから，
$(\beta-\alpha)^2=a^2-4\cdot 1\cdot \dfrac{a^2-b}{2}=2b-a^2=1$
が成立し，これが求める必要十分条件である．