1975年(昭和50年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.11記

[3] 直線 $x+y=4$ に第一象限において接する放物線 $y=-ax^2+bx$ がある．この放物線と $x$ 軸の正の部分とで囲まれる図形の面積が最大となるときの $a$ ， $b$ の値とその場合の面積を求めよ．

2023.08.12記

[解答]
接点の $x$ 座標を $\alpha$ （ $0\lt \alpha\lt 4$ ）とおくと，放物線の方程式は
$y=-ax^2+bx=-a(x-\alpha)^2-x+4$
となるので係数比較して $b=2a\alpha-1$ ， $0=-a\alpha^2+4$ となり，
$a=\dfrac{4}{\alpha^2}$ ， $\dfrac{b}{a}=2\alpha-\dfrac{\alpha^2}{4}$
となる，求める図形の面積は
$\dfrac{6}{a}\left(\dfrac{b}{a}\right)^3$ $=\dfrac{2}{3\alpha^2}\left(2\alpha-\dfrac{\alpha^2}{4}\right)^3$ $=\dfrac{2}{3}\alpha\left(2-\dfrac{\alpha}{4}\right)^3$
となる．ここで AM-GM より
$\dfrac{3}{4}\alpha \cdot \left(2-\dfrac{\alpha}{4}\right)^3$ $\leqq \dfrac{1}{4}\left\{\dfrac{3}{4}\alpha +3\left(2-\dfrac{\alpha}{4}\right)\right\}$ $=\dfrac{3}{2}$ （等号は $\alpha=2$ ）
だから，面積が最大となるのは
$a=1，b=3$ のときの $\dfrac{9}{2}$