1976年(昭和51年)東京大学-数学(文科)[4]旧課程 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.12記

[4]（旧課程）
$a$ を整数とする．整式 $f(x)=x^5-ax-1$ が整数を係数とする $2$ つの（正の次数の）整式の積に表わされるような $a$ を求めよ．またそのような $a$ について $f(x)$ を上のような積に分解せよ．

本問のテーマ

モニック多項式の整数根となるための必要条件は定数項の約数

2023.08.16記

[解答]
5次式が因数分解できるとき，必ず1次式か2次式を因数にもつ．

(1) $f(x)$ が1次の因数をもつとすると， $f(x)=0$ の整数解は定数項 $1$ の約数である．

(i) $f(1)=-a=0$ のとき， $f(x)=x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$

(ii) $f(-1)=a-2=0$ のとき， $f(x)=x^5-2x-1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x-1)$

(2) $f(x)$ が2次の因数をもつとする．

(i) $f(x)=x^5-ax-1=(x^2+px+1)(x^3+qx^2+rx-1)$ と因数分解できるとき
4次、3次、2次の係数比較により
$p+q=0，pq+r+1=0，pr+q-1=0$
となる． $q$ を消去して
$r+1=p^2，pr-p-1=0$
となり， $r$ を消去して
$p(p^2-1)-p-1=p^3-2p-1=(p+1)(p^2-p-1)=0$
から整数 $p$ は $p=-1$ となり， $q=1，r=0$ となり
$f(x)=(x^2-x+1)(x^3+x^2-1)=x^5+x-1$ から $a=-1$

(ii) $f(x)=x^5-ax-1=(x^2+px-1)(x^3+qx^2+rx+1)$ と因数分解できるとき
4次、3次、2次の係数比較により
$p+q=0，pq+r-1=0，pr-q+1=0$
となる． $q$ を消去して
$r-1=p^2，pr+p+1=0$
となり， $r$ を消去して
$p(p^2+1)+p+1=p^3+2p+1=0$
となるが， $p^3+2p+1=0$ の整数解は存在すれば定数項の約数 $\pm1$ でなければならないが，いずれも満たさないので整数解をもたず，不適．

以上から
$a=0$ のとき， $f(x)=x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$
$a=2$ のとき， $f(x)=x^5-2x-1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x-1)$
$a=-1$ のとき， $f(x)=(x^2-x+1)(x^3+x^2-1)$