[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2021年(令和3年)大阪大学-数学(理系)[4]

[4]

整数 $a,b,c$ に関する次の条件(*)を考える．
$\displaystyle\int_a^c(x^2+bx)dx=\displaystyle\int_b^c(x^2+ax)dx$ ……(*)

(1)整数 $a,b,c$ が(*)および $a\neq b$ をみたすとき， $c$ は $3$ の倍数であることを示せ．

(2) $c=3600$ のとき，(*)および $a\lt b$ をみたす整数の組 $(a,b)$ の個数を求めよ．

2021.02.25記
間違えていたので消去．

2021.02.26記

[解答]

以下 mod 3 で考える．

(1) $2(c^3-a^3)+3b(c^2-a^2)=2(c^3-b^3)+3a(c^2-b^2)$ より $(a+2b)(2a+b)=-3c^2$ となるので， $(a+2b)(2a+b)$ $=(a+2b)\{3(a+b)-(a+2b)\}$ $\equiv -(a+2b)^2\equiv 0$ となり， $a+2b\equiv 0$ となる．よって， $a+2b=3k$ とおくと $9k(a+b-k)=-3c^2$ ，つまり $3k(a+b-k)=-c^2$ となる．

よって， $c^2=-3k(a+b-k)\equiv 0$ となり， $c\equiv 0$ ．

(2) $(a+2b)(2a+b)=-2^8\times 3^5\times 5^4$ である．

$a+2b=3p$ ， $2a+b=3q$ のとき $a=2p-q$ ， $b=2q-p$ だから整数解 $(a,b)$ と整数解 $(p,q)$ は一対一に対応し，このとき $a\gt b\Longleftrightarrow p\gt q$ となるので， $pq=-2^8\times 3^3\times 5^4$ かつ $p\gt q$ となるものの個数を数えれば良い．

今， $pq\lt 0$ だから $p\lt 0\lt q$ であれば良く， $2^8\times 3^3\times 5^4$ の正の約数の個数が求める個数となり，それは $9 \times 4\times 5=180$ となる．