1976年(昭和51年)東京大学-数学(理科)[5]旧課程 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.12記

[5]（旧課程）点 $\mbox{P}$ は $xy$ 平面の原点 $\mbox{O}$ を時刻 $t=0$ に出発して， $x$ 軸上を正の向きに動く．時刻 $t$ において
$x\mbox{軸}$ ， $\mbox{曲線}y=\dfrac{x^2+1}{x+1}$ ， $y\mbox{軸}$ ， $\mbox{P}\mbox{を通って}y\mbox{軸に平行な直線}$
で囲まれた図形の面積を $S$ とする． $\mbox{P}$ が点 $(x,0)$ を通過するときの $S$ の変化率 $\dfrac{dS}{dt}$ は $x^2+1$ に等しいという．このとき $S$ を $t$ の式で表わせ．ただし $\mbox{P}$ の座標は時刻 $t$ の微分可能な関数とする．

2023.08.16記

[解答]
$S=\displaystyle\int_0^{x(t)} \dfrac{x^2+1}{x+1} dx$
であるから，
$\dfrac{dS}{dt}= \dfrac{x^2+1}{x+1} \cdot x'(t)$ $=x^2+1$
となり，
$x'(t)=x(t)+1$
を得る． $(x(t)+1)'=x'(t)$ に注意すると
$x(t)+1=Ce^{t}$ となるので， $x(0)=0$ とから $x(t)=e^t-1$ となる．

よって
$\dfrac{dS}{dt}$ $=x^2+1$ $=e^{2t}-2e^t+2$
だから $S(0)=0$ とから
$S=\dfrac{1}{2}e^{2t}-2e^t+2t+\dfrac{3}{2}$
となる．