1976年(昭和51年)東京大学-数学(理科)[4]旧課程 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.12記

[4]（旧課程） $xy$ 平面上に3つの円 $A$ ， $B$ ， $C$ があって，それぞれ
$A:x^2+y^2=9$ ，
$B:{(x-4)}^2+{(y-3)}^2=4$ ，
$C:{(x-5)}^2+{(y+3)}^2=1$
で表わされる．
この平面上の点 $\mbox{P}$ から円 $A$ ， $B$ ， $C$ に接線がひけるとき，
$\mbox{P}$ からそれらの接点までの距離をそれぞれ $\alpha(\mbox{P})$ ， $\beta(\mbox{P})$ ， $\gamma(\mbox{P})$ とする．このとき
${\alpha(\mbox{P})}^2+{\beta(\mbox{P})}^2+{\gamma(\mbox{P})}^2=99$
となる点 $\mbox{P}$ の全体が作る曲線を図示し，その長さを求めよ．

2023.08.16記

[解答]
$\alpha(\mbox{P})^2$ $=x^2+y^2-9$ ，
$\beta(\mbox{P})^2$ $=(x-4)^2+(y-3)^2-4$ ，
$\gamma(\mbox{P})^2$ $=(x-5)^2+(y+3)^2-1$
であるから，
${\alpha(\mbox{P})}^2+{\beta(\mbox{P})}^2+{\gamma(\mbox{P})}^2=99$
に代入して3で割ると
$D:(x-3)^2+y^2=27$
となる．題意をみたす点 $\mbox{P}$ は3つの円の外側にあれば良い．

$C$ は $D$ に含まれ，
$B$ は $D$ と接し，
$A$ は $D$ と $\left(-\dfrac{3}{2},\pm\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ で交わることに注意すると次図の円弧となる．