1976年(昭和51年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.12記

[1] 負でない実数 $r$ ， $l$ に対して， $xy$ 平面上の曲線
$y=\left\{\begin{array}{ll} x^2 & (0 \leqq x \leqq r) \\ r^2 & (r \leqq x \leqq l+r) \\ (x-l-2r)^2 & (l+r \leqq x \leqq l+2r) \end{array}\right.$
を考え，
これを $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を $V$ とする． $r^2$ と $l$ の和が正の定数 $c$ になるように $r$ と $l$ を変化させるとき，
$V$ の最大値を与えるような $r$ と $l$ の値を求めよ．

[2] 時刻 $t=0$ に原点を出発し， $xy$ 平面上で次の条件(i)，(ii) に従っていろいろに運動する動点 $\mbox{P}$ がある．

(i) $t=0$ における $\mbox{P}$ の速度を表わすベクトルの成分は $(1,\sqrt{3})$ である．

(ii) $0\lt t\lt 1$ において， $\mbox{P}$ は何回か（ $1$ 回以上有限回）直角に左折するが，そのときを除けば $\mbox{P}$ は一定の速さ $2$ で直進する．（ただし，左折するのに要する時間は $0$ とする）

このとき，時刻 $t=1$ において $\mbox{P}$ が到達する点を $\mbox{Q}$ として， $\mbox{Q}$ の存在しうる範囲を図示せよ．

[3]（新課程）点 $\mbox{P}(x,y)$ は $xy$ 平面上の円 $C:(x-5)^2+(y-5)^2=r^2$
（ $r>0$ ）の上を動く動点である．このとき点 $\mbox{P}$ の点 $\mbox{A}(9,0)$ に関する対称点を $\mbox{Q}$ とし，また点 $\mbox{P}$ を原点 $\mbox{O}$ のまわりに正の向きに $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転した点を $\mbox{R}$ とする．点 $\mbox{P}$ が円 $C$ の上を動くときの線分 $\mbox{QR}$ の長さの最小値 $f(r)$ と最大値 $g(r)$ とを求めよ．また $f(r)$ が $0$ となるような $r$ の値を求めよ．

[3]（旧課程） $xy$ 平面上に3つの円 $A$ ， $B$ ， $C$ があって，それぞれ
$A:x^2+y^2=9$ ，
$B:{(x-4)}^2+{(y-3)}^2=4$ ，
$C:{(x-5)}^2+{(y+3)}^2=1$
で表わされる．
この平面上の点 $\mbox{P}$ から円 $A$ ， $B$ ， $C$ に接線がひけるとき，
$\mbox{P}$ からそれらの接点までの距離をそれぞれ $\alpha(\mbox{P})$ ， $\beta(\mbox{P})$ ， $\gamma(\mbox{P})$ とする．このとき
${\alpha(\mbox{P})}^2+{\beta(\mbox{P})}^2+{\gamma(\mbox{P})}^2=99$
となる点 $\mbox{P}$ の全体が作る曲線を図示し，その長さを求めよ．

[4]（新課程） $\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=O$ ， $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$ とかく．
実数 $a$ ， $b$ に対し $A=\begin{pmatrix}0 & a \\ 1 & b \end{pmatrix}$ とおく．
いま $xI+yA$ （ $x$ ， $y$ は実数）の形に表わされる行列全体からなる集合を $R$ とし， $R$ から $O$ を除いた集合を $G$ とする．