[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1976年(昭和51年)東京大学-数学(理科)[5]新課程

2023.08.12記

[5]（新課程） z 軸を軸とする半径 1 の円柱の側面で， xy 平面より上（z 軸の正の方向）にあり，平面 x-\sqrt{3}y+z=1 より下（z 軸の負の方向）にある部分を D とする．D の面積を求めよ．

2023.08.16記

[解答]
x=\cos\theta，y=\sin\theta とおくと
0\leqq z\leqq 1-\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta（0\leqq\theta\leqq\dfrac{4\pi}{3}）
であるから，求める面積は
\displaystyle\int_0^{4\pi/3} (1-\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)d\theta
=\Bigl[\theta-\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta\Bigr]_0^{4\pi/3}=\dfrac{4\pi}{3}+2\sqrt{3}