1977-01-03 1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科)[2] [2] 平面上の,原点 とは異なる2点 ,に対し,,,とおく.2点 , の座標 ,,, が有理数であるとき次の 条件はたがいに同値であることを証明せよ.(i) は有理数である.(ii) は有理数である.(iii) は有理数である.2023.08.17記 [解答] , は原点とは異なるので である.三角形の面積公式から , 内積公式から であり, , は有理数である.よって が有理数のとき()から , は有理数である.また が0でない有理数のとき,内積から は有理数であり, のときは であるから面積公式から は有理数である.よって が有理数のとき, は有理数である.同様に が0でない有理数のとき,面積公式から は有理数であり, のときは であるから内積から は有理数である.よって が有理数のとき, は有理数である.以上から (i),(ii),(iii) は互いに同値である.