[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科)[6]新課程

[6]（新課程）座標の定められた空間において，直線 $l$ は $2$ 点 $(1,1,0)$ ， $(2,1,1)$ を通り，直線 $m$ は $2$ 点 $(1,1,1)$ ， $(1,3,2)$ を通る．

(i) $l$ を含み $m$ に平行な平面の方程式を $ax+by+cz+d=0$ の形に表せ．

(ii) 点 $(2,0,1)$ を通り $l$ ， $m$ の両方と交わる直線を $n$ とする． $l$ と $n$ の交点および $m$ と $n$ の交点を求めよ．

2023.08.18記

[解答]
(i) 求める平面の法線ベクトルは $l$ の方向ベクトル $(1,0,1)$ ， $m$ の方向ベクトル $(0,2,1)$ の両方に垂直だから，その1つとして $(2,1,-2)$ がとれる．よって求める平面の方程式は $2(x-1)+(y-1)-2z=0$ ，つまり
$2x+y-2z-3=0$

(ii) 直線 $n$ と $l$ の交点は $(1+t,1,t)$ ，直線 $n$ と $m$ の交点は $(1,1+2s,1+s)$ とおくことができる． $(2,0,1)$ からこの2点に向かうベクトル $(t-1,1,t-1)$ ， $(-1,1+2s,s)$ が平行であることと， $(t-1,1,t-1)$ の $x$ 成分と $z$ 成分が等しいことから $s=-1$ となり，よって $(t-1,1,t-1)$ ， $(-1,-1,-1)$ が平行となることから $t=2$ となる．

よって，直線 $n$ と $l$ の交点は $(3,1,2)$ ，直線 $n$ と $m$ の交点は $(1,-1,0)$ となる．