1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] $xy$ 平面上に，不等式で表される $3$ つの領域
$A:x\geqq0$ ， $B:y\geqq0$ ， $C:\sqrt{3}x+y\leqq\sqrt{3}$
をとる．いま任意の点 $\mbox{P}$ に対し， $\mbox{P}$ を中心として $A$ ， $B$ ， $C$ のどれか
少くとも $1$ つに含まれる円を考える．このような円の半径の最大値は点 $\mbox{P}$ によって定まるから，これを $r(\mbox{P})$ で表すことにする．

(i) 点 $\mbox{P}$ が $A \cap C$ から $(A \cap C) \cap B$ を除いた部分を動くとき， $r(\mbox{P})$ の動く範囲を求めよ．

(ii) 点 $\mbox{P}$ が平面全体を動くとき， $r(\mbox{P})$ の動く範囲を求めよ．

2023.08.17記

[解答]
$\mbox{O}(0,0)$ ， $\mbox{S}(1,0)$ ， $\mbox{T}(0,\sqrt{3})$ とおく．

(i) 与えられた領域は $A，C$ に含まれるが $B$ には含まれないので， $\mbox{P}$ を中心として $A$ ， $C$ のどちらかに
含まれる円の半径の最大値 $r(\mbox{P})$ は $P$ から $\mbox{TO}$ ， $\mbox{TS}$ への距離の小さい方となるので，その値の下限は $\mbox{P}$ が $\angle\mbox{OTS}$ の二等分線と $\mbox{OS}$ の交点 $\mbox{U}$ に近づいた極限となる．そして $r(\mbox{P})$ の値がこの下限より大きい値をすべてとり得ることは， $\mbox{P}$ を $\angle\mbox{OTS}$ の二等分線上にとり， $\mbox{T}$ から離れるように連続的に動かせることからわかる．

このときの $r(\mbox{P})$ の値は $\mbox{OU}=\mbox{OS}\cdot\dfrac{\mbox{TO}}{\mbox{TO}+\mbox{TS}}=2\sqrt{3}-3$ であるから，求める範囲は $r(\mbox{P})\gt 2\sqrt{3}-3$

(ii) 領域 $X$ の補集合を $\bar{X}$ で表すことにする．

点 $\mbox{P}$ が $\bar{B}$ のうち (i) でない領域にあるとき， $r(\mbox{P})$ は $P$ から $\mbox{TO}$ ， $\mbox{TS}$ への距離の大きい方となるので，(i) の下限の値より大きくなる．

同様に考えると，点 $\mbox{P}$ が $\triangle\mbox{OTS}$ の外部にあるときは， $\triangle\mbox{OTS}$ のそれのれの角の2等分線と対辺の3交点に近づいたときの $r(\mbox{P})$ の極限のうち一番小さい値より大きくなることがわかる．

よって点 $\mbox{P}$ が最小となるのは点 $\mbox{P}$ が $\triangle\mbox{OTS}$ の内部にあるときで，このとき $r(\mbox{P})$ は $P$ から3辺への距離の最大値となる．

よってこの最大値が最小となるのは，点 $\mbox{P}$ が $\triangle\mbox{OTS}$ の内心のときとなり，このときの $r(\mbox{P})$ は
$r(\mbox{P})$ $=\dfrac{\triangle\mbox{OST}}{\mbox{OS}+\mbox{ST}+\mbox{TO}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ となる．
そして $r(\mbox{P})$ の値がこの最小値より大きい値をすべてとり得ることは， $\mbox{P}$ を $\angle\mbox{OTS}$ の二等分線上にとり， $\mbox{T}$ から離れるように連続的に動かせることからわかる．

よって求める範囲は $r(\mbox{P})\gt \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ となる．