1987年(昭和62年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[1] 行列 $X=\begin{pmatrix} x & z \\ z & y \end{pmatrix}$ が条件
$X^2-4X+\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
をみたすとき，このような $x$ ， $y$ を座標とする点 $(x,y)$ が存在する範囲を図示せよ．ただし，行列の成分は実数とする．

2020.09.28記

[解答]
$X$ が単位行列の定数倍のとき， $X=I，3I$ （単位行列を $I$ とする）となる．
そうでないとき，ケーリー・ハミルトンの定理から $x+y=4，xy-z^2=3$ が成立する．

このような $z$ が存在するような $x，y$ を考えると
$x(4-x)\geqq 3$ から $1\leqq x\leqq 3$ となるので，

$(x,y)=(1,1)，(3,3)$ 及び $x+y=4$ （ $1\leqq x\leqq 3$ ）を図示すれば良い．

なお， $Y=X-2I$ とおくと， $Y^2=I$ が成立する．つまり単位行列の平方根を求める問題となる．

[大人の解答]
$Y=X-2I$ とおくと， $Y^2=I$ が成立するので， $Y$ の Jordan 標準形は，固有値が増加するように並べると
$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ の3つに限られる．

このとき， $Y$ は $\pm I$ 及び $\mbox{tr} \, Y=0，\mbox{det}\, Y=-1$ をみたす行列に限られる．

つまり， $X=I，3I$ または，
$(x-2)+(y-2)=0$ ， $(x-2)(y-2)-z^2=-1$ つまり $x+y=4，xy=3+z^2$ をみたす． $z$ が実数であるから，
$(x,y)=(1,1)，(3,3)$ 及び $x+y=4$ （ $xy\geqq 3$ ）
となる