2006年(平成18年)東京大学前期-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.19記

[1] 四角形 $\mbox{ABCD}$ が，半径 $\dfrac{65}{8}$ の円に内接している．この四角形の周の長さが $44$ で，辺 $\mbox{BC}$ と辺 $\mbox{CD}$ の長さがいずれも $13$ であるとき，残りの $2$ 辺 $\mbox{AB}$ と $\mbox{DA}$ の長さを求めよ．

本問のテーマ

ブラマグプタの公式(2021.02.02)

2021.02.02記

[解答]
$\triangle\rm BCD$ において，正弦定理から $\sin B=\dfrac{4}{5}$ だから $\cos C=\cos (\pi-2B)=2\sin^2B-1=\dfrac{7}{25}$
となるので，余弦定理から ${\rm BD}^2=\dfrac{78}{5}$

${\rm AB}=x$ ， ${\rm AD}=y$ とおくと $x+y=44-26=18$ で，余弦定理から
$\dfrac{78^2}{5^2}=x^2+y^2+\dfrac{14}{25}xy$ から $xy=56$

よって， $x,y$ は $t^2-16t+56=0$ の解だから $\{x,y\}=\{4,14\}$ となり
$\{{\rm AB},{\rm AD}\}=\{4,14\}$
となる．

ブラマグプタの公式を使ってみる．

[別解]
${\rm AB}=x$ ， ${\rm AD}=y$ とおき，四角形の面積を $S$ とおくと
ブラマグプタの公式から
$S=\sqrt{(22-x)(22-y)(22-13)(22-13)}$
となる．一方，
$S=\dfrac{1}{2}(xy+169)\sin B$
となり， $\sin B=\dfrac{\sqrt{25^2-7^2}}{25}$ であるから，
$\dfrac{1}{2}(xy+169)\cdot \dfrac{\sqrt{25^2-7^2}}{25}$ $=\sqrt{(22-x)(22-y)(22-13)(22-13)}$
が成立する． $x+y=44-26=18$ に注意してこれを整理すると
$16(xy)^2-217(xy)-38024=(xy-56)(16xy+679)＝0$
が成立するので， $xy=56$ となる．

よって $x，y$ は $t^2-16t+56=0$ の解となり， $\{{\rm AB},{\rm AD}\}=\{x,y\}=\{4,14\}$ となる．

今回の数値の場合，ブラマグプタの公式は実践的ではない．