1980年(昭和55年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[4] $a$ ， $b$ は $a^2-b^2=-1$ をみたす定まった実数とし， $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ， $A=\begin{pmatrix} a & -b \\ -b & -a \end{pmatrix}$ とおく．実数の組 $(x,y)$ について $Z=xI+yA$ とおき，この $Z$ に対して $Z'=xI-yA$ とおく．また零行列を $O$ で表す．

(1) 等式 $ZZ'-Z-Z'-3I=O$ ……(＊)をみたすすべての $Z$ に対する点 $(x,y)$ のつくる曲線を図示せよ．

(2) $x^2+y^2\neq0$ のとき， $Z$ の逆行列 $Z^{-1}$ があって $uI+vA$ の形に表されることを示せ．
また，等式(＊)をみたすすべての $Z$ に対する点 $(u,v)$ のつくる曲線を図示せよ．

本問のテーマ

反転

2020.11.26記

反転

[大人の解答]
(1) $A^2=-I$ だから，
$Z\mapsto z=x+yi$ ， $Z'\mapsto \bar{z}=x-yi$
に対応する．
$z\bar{z}-z-\overline{z}-3=0$ は $(z-1)\overline{(z-1)}=4$ ，つまり $|z-1|=2$ と変形できるので $(x,y)$ は $(1,0)$ 中心半径2の円を描く．

(2) $z^{-1}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$ だから $Z^{-1}=\dfrac{xI-yA}{x^2+y^2}$

$z\mapsto z^{-1}$ は単位円に関して反転して実軸対称移動を行なったものだから， $(-1,0)，(3,0)$ を直径とする円は $(-1,0)，\Bigl(\dfrac{1}{3},0\Bigr)$ を直径とする円にうつる．