2006年(平成18年)山梨大学医学部後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.11.03記

[2] 実数を成分とする行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$ ， $O=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ に対して， $A\neq O$ ， $B\neq O$ ， $AB=O$ が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1) $a=d=e=h=1$ ならば， $BA=O$ であることを示せ．

(2) $a+d=0$ のとき， $a^2+bc$ の値を求めよ．

(3) $ad-bc$ の値を求めよ．

(4) $D\neq O$ かつ $DA=O$ を満たす2次の正方行列 $D$ を1つ求めよ．

本問のテーマ

零因子
余因子行列
クリフォード代数(むりやり)

2022.11.03記

[解答]
(1) $AB=\begin{pmatrix} 1+bg & b+f \\ c+g & cf+1 \end{pmatrix}$ ， $BA=\begin{pmatrix} 1+cf & b+f \\ c+g & bg+1 \end{pmatrix}$ により， $AB$ の対角成分を入れかえたものが $BA$ となるので， $AB=O$ ならば $BA=O$ である．

(2)(3) $\textrm{det}\, A\neq 0$ と仮定すると $A^{-1}$ が存在するので， $AB=O$ から $B=O$ となり矛盾するので，
$\textrm{det}\, A=ad-bc=0$ であり， $a+d=0$ ならば $a^2+bc=-(ad-bc)=0$ となる．

(4) $D=\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ とおくと， $A\neq O$ から $D\neq O$ であり，
$DA=(ad-bc)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $=0\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=O$ をみたす．

$D$ は $A$ の余因子行列である．

2022.11.28記

[解答]
(2)(3) $A^{-1}$ が存在すると仮定すると $B=A^{-1}AB=A^{-1}O=O$ となり矛盾するので， $A^{-1}$ は存在しない．よって， $ad-bc=0$ であり， $a+d=0$ ならば $a^2+bc=-(ad-bc)=0$ である．

(1) $A^{-1}$ が存在しないので，
$\textrm{det}\,A=ad-bc=1-bc=0$
から
$A=\begin{pmatrix} 1 & b \\ b^{-1} & 1 \end{pmatrix}$
とかけ，同様にして
$B=\begin{pmatrix} 1 & f \\ f^{-1} & 1 \end{pmatrix}$
とかくことができる．このとき
$AB=\begin{pmatrix} 1+bf^{-1} & b+f \\ b^{-1}+f^{-1} & b^{-1}f+1 \end{pmatrix}=O$
となる必要十分条件は $f=-b$ であるから，
$B=\begin{pmatrix} 1 & -b \\ -b^{-1} & 1 \end{pmatrix}$
とかくことができる．

このとき
$BA=\begin{pmatrix} 1 & -b \\ -b^{-1} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & b \\ b^{-1} & 1 \end{pmatrix}$ $=O$
となる．

零因子

環の乗法において零以外の元との積が零となるものが存在するような元を零因子という．2次以上の正方行列のなす環において、零因子であることと行列式が0であることは同値である（零行列も零因子である）．

2次正方行列の零行列でない零因子はランク1であるから，
$\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} r & s \end{pmatrix}$
( $p,q$ のうち少くとも1つが非零、 $r,s$ のうち少くとも1つが非零)
のように縦ベクトルと横ベクトルの積で表すことができる．

(1) $A^{-1}$ が存在しないので， $A=\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} r & s \end{pmatrix}$ とかけ， $a=d=1$ により
$A=\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p^{-1} & q^{-1} \end{pmatrix}$ $=(pq)^{-1}\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} q & p \end{pmatrix}$
なる実数 $p,q\neq 0$ が存在する．

$B^{-1}$ が存在すると仮定すると $A=ABB^{-1}=OB^{-1}=O$ となり矛盾するので， $B^{-1}$ は存在せず， $e=h=1$ から
$B=(xy)^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y & x \end{pmatrix}$
なる実数 $x,y\neq 0$ が存在する．

このとき
$AB=(pqxy)^{-1}(px+qy)\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y & x \end{pmatrix}$
$=(pqxy)^{-1}(py+qx)\begin{pmatrix} py & px \\ qy & qx \end{pmatrix}=O$
となるが， $py\neq 0$ により $py+qx=0$ であり，このとき
$BA=(xypq)^{-1}(qx+py)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} q & p \end{pmatrix}=O$
である．

(4) $A^{-1}$ が存在しないので， $A=\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} r & s \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} pr & ps \\ qr & qs \end{pmatrix}$
とかける．

$D=\begin{pmatrix} s \\ -r \end{pmatrix}\begin{pmatrix} q & -p \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} qs & -ps \\ -qr & pr \end{pmatrix}$
とおくと， $D$ は $A$ の成分を並べかえたものなので， $A\neq O$ から $D\neq O$ であり，
$DA=\begin{pmatrix} s \\ -r \end{pmatrix}\begin{pmatrix} q & -p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} r & s \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} s \\ -r \end{pmatrix}(0)\begin{pmatrix} r & s\end{pmatrix}=O$
となる．

結局， $D$ は $A$ の余因子行列である．

クリフォード代数

2007年(平成19年)山梨大学医学部後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

に倣う．

[解答]
(1) $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ を2次の単位行列とし， $F=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ ， $G=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ ， $H=FG=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ とおき，
$A=rE+sF+tG+uH$ ， $B=wE+xF+yG+zH$
とおくと

2007年(平成19年)山梨大学医学部後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

により $AB=BA$ となる必要十分条件は $s:t:u=x:y:z$ である．

$a=d=1$ により $r=1,t=0$ ， $e=h=1$ により $w=1,y=0$
であるから， $AB=BA$ となる必要十分条件は $s:u=x:z$ である．

さて，
$BA=(rw-sx+ty+uz)E$ $+\{(rx+sw)-(uy-tz)\}F$ $+\{(ry+tw)+(sz-ux)\}G$ $+\{(rz+uw)+(tx-sy)\}H$
$=(1-sx+uz)E$ $+(x+s)F$ $+(sz-ux)G$ $+(z+u)H＝O$
であり， $E,F,G,H$ は線形独立であるから，

$BA=O$ となる必要十分条件は
$1-sx+uz=x+s=sz-ux=z+u=0$
である．ここで $sz-ux=0$ から $AB=BA$ となり， $AB=O$ となる．

条件を整理すると，
$1+s^2-u^2=0$ から $u=\cosh\theta$ ， $s=\sinh\theta$ とおけ，残りを計算すると
$A=E+(\sinh\theta)F+(\cosh\theta)H$ $=\begin{pmatrix} 1 & \cosh\theta-\sinh\theta \\ \cosh\theta+\sinh\theta & 1\end{pmatrix}$ ，
$B=E-(\sinh\theta)F-(\cosh\theta)H$ $=\begin{pmatrix} 1 & -\cosh\theta+\sinh\theta \\ -\cosh\theta-\sinh\theta & 1\end{pmatrix}$
となり， $b=\cosh\theta-\sinh\theta$ とおくと
$A=\begin{pmatrix} 1 & b \\ b^{-1} & 1 \end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} 1 & -b \\ -b^{-1} & 1 \end{pmatrix}$ となる．