[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1980年(昭和55年)東京大学-数学(文科)[3]

2023.08.22記

[3] $n$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は $0$ または正の整数であって，
$\left\{\begin{array}{l} a^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6 \\ a+b+c+d \leqq n \\ a \geqq b \geqq c \geqq d \end{array}\right.$
をみたすものとする．このような数の組 $(n,\,a,\,b,\,c,\,d)$ をすべて求めよ．

2020.11.26記

[解答]
$(a+b+c+d)^2\leqq n$ から $ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqq 3$ となる．

$d\geqq 1$ とすると左辺は6以上となるので $d=0$ ．このとき $ab+ac+bc\leqq 3$ となる．

$c\geqq 2$ とすると左辺は12以上となるので $c=0,1$ ．

(i) $c=1$ のとき $a=b=c=1$ となり， $n=3$ ．

(ii) $c=0$ のとき $ab\leqq 3$ となる．

(a) $b=0$ のとき $a$ は任意となり， $n^2=6+a^2$ となるが， $(n+a)(n-a)=6$ の左辺は奇数か4の倍数であるから，このような整数の組 $(n,a)$ は存在しない．

(b) $b=1$ のとき $a\leqq 3$ であり， $n^2=7+a^2$ となる．これをみたす組は $(n,a)=(4,3)$ に限る．

以上から $(n,a,b,c,d)=(3,1,1,1,0)，(4,3,1,0,0)$ となる.

河合の72年． $(a,b,c,d)=(1,1,1,0,3)，(3,1,0,0,4)$ という重大な誤植．