1980年(昭和55年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[1] $1$ 辺の長さが $1$ の正三角形 $\mbox{ABC}$ の辺 $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ 上に，それぞれ点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ を $\mbox{BP}=\mbox{CQ}=\mbox{AR}\lt\dfrac{1}{2}$ となるようにとり，線分 $\mbox{AP}$ と線分 $\mbox{CR}$ の交点を $\mbox{A}'$ ，線分 $\mbox{BQ}$ と線分 $\mbox{AP}$ の交点を $\mbox{B}'$ ，線分 $\mbox{CR}$ と線分 $\mbox{BQ}$ の交点を $\mbox{C}'$ とする． $\mbox{BP}=x$ として，次の問に答えよ．

(1) $\mbox{BB}'$ ， $\mbox{PB}'$ を $x$ を用いて表せ．

(2) 三角形 $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ の面積が三角形 $\mbox{ABC}$ の面積の $\dfrac{1}{2}$ になるような $x$ の値を求めよ．

2020.11.25記

[解答]
(1) 長さ $1,x$ で夾角 $60^{\circ}$ の三角形の残りの一辺は $y=\sqrt{1-x+x^2}$ だから，相似を利用して
${\rm BB}'={\rm AP}\times \dfrac{{\rm BP}}{{\rm AB}}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x+x^2}}$ ，
${\rm PB}'={\rm BB'}\times \dfrac{{\rm BP}}{{\rm AB}}=\dfrac{x^2}{y}=\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x+x^2}}$

(2) ${\rm A}'{\rm B}'={\rm AP}-{\rm AA}'-{\rm B}'{\rm P}=\dfrac{1-2x}{\sqrt{1-x+x^2}}$ により
$2(1-2x)^2=1-x+x^2$ かつ $0\lt x\lt \dfrac{1}{2}$ を解いて $x=\dfrac{7-\sqrt{21}}{14}$