2013年(平成25年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2013年(平成25年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.10記

[解答]

(1) 点 ${\rm X}(x,y,z)$ が $V_1$ に含まれる条件は
$\angle{\rm XBO}\leqq\dfrac{\pi}{4}$ かつ $\angle{\rm XDO}\leqq\dfrac{\pi}{4}$ であるから，
$\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \\ z \end{pmatrix}\geqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2} \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2+z^2}$
（ $-x+y\leqq 2$ ）
かつ
$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x+1 \\ y+1 \\ z \end{pmatrix}\geqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2} \sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2+z^2}$
（ $-2\leqq x+y$ ）

である． $-2\leqq x+y\leqq 2$ の範囲内では2式の両辺が正より二乗しても同値であり，
$\{(1-x)+(1-y)\}^2\geqq (x-1)^2+(y-1)^2+z^2$
かつ
$\{(1+x)+(1+y)\}^2\geqq (x+1)^2+(y+1)^2+z^2$
かつ $-2\leqq x+y\leqq 2$

となる．整理して
$2(1-x)(1-y)\geqq z^2$
かつ
$2(1+x)(1+y)\geqq z^2$
かつ $-2\leqq x+y\leqq 2$

となる．よって $V_1$ の $x=t$ （ $0\leqq x\lt 1$ ）における切り口は
$1-\dfrac{z^2}{2(1-t)}\geqq y\geqq \dfrac{z^2}{2(1+t)}-1$
となる． $y=1-\dfrac{z^2}{2(1-t)}$ と $y=\dfrac{z^2}{2(1+t)}-1$ の交点の $z$ 座標は
$z=\pm\sqrt{2(1-t^2)}$
であるから，囲まれる部分の面積は
$\dfrac{1}{6(1-t)^2}\{2\sqrt{2(1-t^2)}\}^3=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\sqrt{1-t^2}$

(2) $V_2$ は $V_1$ を $xz$ 平面に関して対称移動したものであるから， $V_2$ の $x=t$ （ $0\leqq x\lt 1$ ）における切り口は， $V_1$ に対する結果の $y$ を $-y$ に置きかえて
$1-\dfrac{z^2}{2(1-t)}\geqq -y\geqq \dfrac{z^2}{2(1+t)}-1$
つまり
$\dfrac{z^2}{2(1-t)}-1\leqq y\leqq 1-\dfrac{z^2}{2(1+t)}$
となる．

よって $V_1$ と $V_2$ の共通部分の $x=t$ （ $0\leqq x\lt 1$ ）における切り口は，
$\dfrac{z^2}{2(1-t)}-1\leqq y\leqq 1-\dfrac{z^2}{2(1-t)}$
となる． $y=1-\dfrac{z^2}{2(1-t)}$ と $y=\dfrac{z^2}{2(1-t)}-1$ の交点の $z$ 座標は
$z=\pm\sqrt{2(1-t)}$
であるから，囲まれる部分の面積は
$\dfrac{1}{6(1-t)}\{2\sqrt{2(1-t)}\}^3=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\sqrt{1-t}$
となる．

よって求める体積は
$2\displaystyle\int_0^1\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\sqrt{1-t}\, dt$ $=\dfrac{32\sqrt{2}}{9}$
となる．