1980年(昭和55年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[5] $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $\mbox{A}_0\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3$ がある．点 $\mbox{P}$ はこの正四面体の辺上を毎秒 $1$ の速さで動き，各頂点に達したとき，そこから出る $3$ 辺のうちの $1$ 辺を $\dfrac{1}{3}$ ずつの確率で選んで進む． $\mbox{P}$ は時刻 $t=0$ において頂点 $\mbox{A}_0$ にあるとする．また $n$ を0または正の整数とし，点 $\mbox{P}$ が時刻 $t=n$ において頂点 $\mbox{A}_i$ にある確率を
$p_i(n)$ で表す（ $i=0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ）．

(1) 数学的帰納法を用いて， $p_1(n)=p_2(n)=p_3(n)$ を証明せよ．

(2) $p_0(n)$ と $p_1(n)$ の値を求めよ．

本問のテーマ

マルコフ過程

2020.11.25記

マルコフ過程

(1)は対称性から明らかだが，証明せよということなので漸化式を導いて、指定された通りに数学的帰納法を用いる.

[大人の解答]
(2) $p_0(n+1)=p_1(n)$ ， $p_1(n+1)=\dfrac{1}{3}p_0(n)+\dfrac{2}{3}p_1(n)$ という連立漸化式を解くか，直接考えることができる
$p_0(n+1)=\dfrac{1}{3}(1-p_0(n))$ を解くかすれば良い．

$\begin{pmatrix} p_0(n+1) \\ p_1(n+1) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_0(n) \\ p_1(n) \end{pmatrix}$
の行列の $n$ 乗を求めれば良い．

この行列は確率行列と呼ばれ，行和が1だから固有値 1とそれに対応する固有ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ をもつ．

トレースからもう一つの固有値は $-\dfrac{1}{3}$ となり，それに対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ である．

これを利用して行列の $n$ 乗を求めれば良いが，2次行列の2つの固有値がわかれば行列の $n$ 乗を行列の1次式に簡単に変形することができる．

固有値が $1,-\dfrac{1}{3}$ の2次行列 $A$ について，
$A^n=\dfrac{1-(-1/3)^n}{1-(-1/3)}(A-I)+I$ （ $I$ は単位行列）が成立するので

$\begin{pmatrix} p_0(n) \\ p_1(n) \end{pmatrix}=\dfrac{3+(-1/3)^{n-1}}{4} \begin{pmatrix} -1 \\ 1/3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$
となり，
$p_0(n)=-\dfrac{3+(-1/3)^{n-1}}{4}+1$ $=\dfrac{1-(-1/3)^{n-1}}{4}$ ，
$p_1(n)=\dfrac{1-(-1/3)^{n}}{4}$
となる．

もちろん， $p_0(n)+3p_1(n)=1$ を利用して片方からもう片方を求めても良い．

2023.08.22記

[解答]
(1) $p_1(0)=p_2(0)=p_3(0)=0$ により $n=0$ のとき成立．

$p_1(k)=p_2(k)=p_3(k)$ を仮定すると
$p_1(k+1)=\dfrac{p_0(k)+p_2(k)+p_3(k)}{3}$ ，
$p_2(k+1)=\dfrac{p_0(k)+p_1(k)+p_3(k)}{3}$ ，
$p_3(k+1)=\dfrac{p_0(k)+p_1(k)+p_2(k)}{3}$
はすべて等しい．よって数学的帰納法よりすべての負でない整数 $n$ について $p_1(n)=p_2(n)=p_3(n)$ である．

(2) $p_0(n)+p_2(n)+p_2(n)+p_3(n)=1$ と $p_1(n+1)=\dfrac{p_0(n)+p_2(n)+p_3(n)}{3}$ から
$p_1(n+1)=-\dfrac{1}{3}p_1(n)+\dfrac{1}{3}$
となり $p_1(0)=0$ とから
$p_1(n)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4\cdot (-3)^{n}}$
となり，
$p_0(n)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4\cdot (-3)^{n-1}}$
となる．