1981年(昭和56年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[1] $A=\begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}$ とし，正の整数 $n$ について $\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ とおく．つぎに， $a$ を実数とし， $xy$ 平面上の点 $(x_n,y_n)$ と点 $(a,0)$ との距離を $d_n$ とする．このとき， $d_{n+1}\gt d_n$ がすべての正の整数 $n$ に対して成り立つような， $a$ の値の範囲を求めよ．

2020.11.26記

[解答]
複素数に直して考えると
$x=-1+\sqrt{3}i=2(\cos\theta+i\sin\theta)$ （ $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ ）としたときに
$d_n^2$ $=(x^n-a)(\bar{x}^n-a)=4^n+a^2-2^{n+1}\cos n\theta$
が成立するので，
$d_{n+1}^2-d_n^2=2^{n+1}\Bigl[ 3\cdot 2^{n-1}-a\{2\cos(n+1)\theta-\cos n\theta\}\Bigr]$
となる．ここで $2\cos(n+1)\theta-\cos n\theta$ は周期3で $3\cdot 2^{n-1}$ は増加関数であるから，
$n=1,2,3$ で不等式が成立することが必要十分条件．

それぞれ $a\gt -6$ ， $a\lt \dfrac{12}{5}$ ， $a\gt -6$ となることから，求める範囲は $-6\lt a\lt \dfrac{12}{5}$