[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1981年(昭和55年)東京大学-数学(理科)[3]

2023.08.22記

[3] 放物線 $y=x^2$ を $C$ で表す． $C$ 上の点 $\mbox{Q}$ を通り， $\mbox{Q}$ における $C$ の接線に垂直な直線を， $\mbox{Q}$ における $C$ の法線という． $0\leqq t \leqq 1$ とし，つぎの3条件をみたす点 $\mbox{P}$ を考える．

(イ) $C$ 上の点 $\mbox{Q}(t,t^2)$ における $C$ の法線の上にある．

(ロ) 領域 $y\geqq x^2$ に含まれる．

(ハ) $\mbox{P}$ と $\mbox{Q}$ の距離は $(t-t^2)\sqrt{1+4t^2}$ である．

$t$ が $0$ から $1$ まで変化するとき， $\mbox{P}$ のえがく曲線を $C'$ とする．このとき， $C$ と $C'$ とで囲まれた部分の面積を求めよ．

2023.08.22記

[解答]
$\mbox{Q}$ における法線の方向ベクトルとして，(ロ)の条件を満たすために接線の方向ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 2t\end{pmatrix}$ を 90度回転した $\begin{pmatrix} -2t \\ 1\end{pmatrix}$ を利用する．

$\mbox{P}(X,Y)$ とおくと
$\overrightarrow{\mbox{OP}}$ $=\begin{pmatrix} t \\ t^2 \end{pmatrix}+(t-t^2)\sqrt{1+4t^2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+4t^2}}\begin{pmatrix} -2t \\ 1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2t^3-2t^2+t \\ t \end{pmatrix}$
となり，この座標は条件(イ)(ロ)(ハ)を確かに満たしている．

求める面積は， $\dfrac{2}{3}-\displaystyle\int_0^1 ( 2y^3-2y^2+y )dy$ $=\dfrac{1}{3}$