2021年(令和3年)九州大学前期-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

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座標空間内の4点 ${\rm O}(0, 0,0)$ ， ${\rm A}(1,0,0)$ ， ${\rm B}(0,1,0)$ ， ${\rm C}(0, 0, 2)$ を考える．以下の問いに答えよ．

(1) 四面体 ${\rm OABC}$ に内接する球の中心の座標を求めよ．

(2) 中心の $x$ 座標， $y$ 座標， $z$ 座標がすべて正の実数であり， $xy$ 平面， $yz$ 平面， $zx$ 平面のすべてと接する球を考える．この球が平面 ${\rm ABC}$ と交わるとき，その交わりとしてできる円の面積の最大値を求めよ．

2021.03.17記

[解答]

(1) 四面体 ${\rm OABC}$ に内接する球の中心の $x$ 座標， $y$ 座標， $z$ 座標はすべて正の実数であり，球は $xy$ 平面， $yz$ 平面， $zx$ 平面のすべてと接するので，球の中心の座標は $(r,r,r)$ とおくことができる．

これと平面 $\rm ABC$ である $2x+2y+z-2=0$ の距離に関して，球の中心が負領域にあることから， $\dfrac{2-5r}{3}=r$ となり， $r=\dfrac{1}{4}$ となる．よって求める座標は $\Bigr(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\Bigr)$

(2) $(r,r,r)$ 中心半径 $r$ の球の中心が $2x+2y+z-2=0$ の正領域にあって接する場合は $\dfrac{5r-2}{3}=r$ となり， $r=1$ となるので， $(r,r,r)$ 中心半径 $r$ の球が平面 $\rm ABC$ と共有点をもつ条件は $\dfrac{1}{4}\leqq r\leqq 1$ であり，このとき，交わりの円の面積は $\pi\Bigl\{r^2-\Bigl(\dfrac{5r-2}{3}\Bigr)^2\Bigr\}$ となる．これは $r^2$ の係数が負の $r$ の2次関数であり， $r=\dfrac{1}{4},1$ で0となることから，軸 $r=\dfrac{1}{2}\Bigr(\dfrac{1}{4}+1\Bigr)=\dfrac{5}{8}$ で最大となり，最大値は $\dfrac{\pi}{4}$ となる．

原点と平面 $\rm ABC$ の距離 $\dfrac{2}{3}$ に着目すると，内接するときの半径 $r$ と外接するときの半径 $R$ に関して比例関係
$\dfrac{2}{3}:\dfrac{2}{3}+2R=\dfrac{2}{3}-2r:\dfrac{2}{3}$
が成立するので， $r=\dfrac{1}{4}$ から $R=1$ となる．