1982年(昭和57年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.23記

[6] サイコロが1の目を上面にして置いてある．向かいあった一組の面の中心を通る直線のまわりに $90^{\circ}$ 回転する操作をくりかえすことにより，サイコロの置きかたを変えていく．ただし，各回ごとに，回転軸および回転する向きの選びかたは，それぞれ同様に確からしいとする．

第 $n$ 回目の操作のあとに1の目が上面にある確率を $p_n$ ，側面のどこかにある確率を $q_n$ ，底面にある確率を $r_n$ とする．

(1) $p_1$ ， $q_1$ ， $r_1$ を求めよ．

(2) $p_n$ ， $q_n$ ， $r_n$ を $p_{n-1}$ ， $q_{n-1}$ ， $r_{n-1}$ で表わせ．

(3) $p=\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$ ， $q=\displaystyle\lim_{n\to\infty}q_n$ ，
$r=\displaystyle\lim_{n\to\infty}r_n$ を求めよ．

本問のテーマ

マルコフ過程

2020.11.26記

マルコフ過程

十分時間が経つと，どの向きを向いている確率も同じ $\dfrac{1}{6}$ に収束するという話．

[解答]
(1) $p_1=\dfrac{1}{3}，q_1=\dfrac{2}{3}，r_1=0$

(2) 遷移図を考えて
$p_n=\dfrac{1}{3}p_{n-1}+\dfrac{1}{6}q_{n-1}$ ，
$q_n=\dfrac{2}{3}p_{n-1}+\dfrac{2}{3}q_{n-1}+\dfrac{2}{3}r_{n-1}$ ，
$r_n=\dfrac{1}{6}q_{n-1}+\dfrac{1}{3}r_{n-1}$

(3) $p_{n-1}+q_{n-1}+r_{n-1}=1$ と2番目の式から $q_n=\dfrac{2}{3}(一定)$ となり， $p_n=\dfrac{1}{3}p_{n-1}+\dfrac{1}{9}$ となる．この漸化式は公比 $\dfrac{1}{3}$ の等比数列に帰着されるので収束し，極限値は $p=\dfrac{1}{3}p+\dfrac{1}{9}$ ，つまり $p=\dfrac{1}{6}$ である．よって $r_n$ は $1-\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}$ に収束する．