2021年(令和3年)九州大学後期-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[4] 正四面体 $\rm ABCD$ の頂点 $\rm A，B，C，D$ 上の動点 $\rm P$ が，時刻 0には頂点 $\rm B$ にいるとする．0以上の整数 $n$ に対して，時刻 $n+1$ の $\rm P$ の位置が，時刻 $n$ の $\rm P$ の位置から以下のルールに従って決まるとする．

・時刻 $n$ に $\rm P$ が頂点 $\rm A$ にいる場合
時刻 $n+1$ に $\rm P$ はそれぞれ確率 $\dfrac{1}{2}，\dfrac{1}{6}，\dfrac{1}{6}，\dfrac{1}{6}$ で頂点 $\rm A，B，C，D$ にいる．

・時刻 $n$ に $\rm P$ が頂点 $\rm B$ にいる場合
時刻 $n+1$ に $\rm P$ はそれぞれ確率 $\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{3}$ で頂点 $\rm A，B，C$ にいる．

・時刻 $n$ に $\rm P$ が頂点 $\rm C$ にいる場合
時刻 $n+1$ に $\rm P$ はそれぞれ確率 $\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{3}$ で頂点 $\rm A，C，D$ にいる．

・時刻 $n$ に $\rm P$ が頂点 $\rm D$ にいる場合
時刻 $n+1$ に $\rm P$ はそれぞれ確率 $\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{3}$ で頂点 $\rm A，B，D$ にいる．

0以上の整数 $n$ に対して，時刻 $n$ に $\rm P$ が頂点 $\rm A，B，C，D$ にいる確率をそれぞれ $a_n，b_n，c_n，d_n$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $a_n$ を求めよ．

(2) $n$ が3の倍数のときの $b_n - c_n$ と $c_n - d_n$ を求めよ．

(3) $n$ が3の倍数のときの $b_n，c_n，d_n$ を求めよ．

本問のテーマ

マルコフ過程

2021.03.17記

マルコフ過程

$\vec{x}_n=\begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n} \\c_{n} \\ d_{n} \end{pmatrix}$ ， $A=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ とおくと $\vec{x}_0=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\vec{x}_{n+1}=A\vec{x}_n$ が成立する．

$B=6A-2E=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ とおくと， $B$ の固有方程式は
$\mbox{det}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 2 & 2 \\ 1 & -\lambda & 0 & 2 \\ 1 & 2 & -\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -\lambda \end{pmatrix}$
$=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 2 & 2 \\ 2+\lambda & -\lambda & -\lambda & -\lambda \\ 1 & 2 & -\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -\lambda \end{pmatrix}$
$=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 0 & 0 \\ 2+\lambda & -\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -\lambda-2 & -2 \\ 1 & 0 & 2 & -\lambda \end{pmatrix}$
$=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2+\lambda & -\lambda \end{pmatrix}$ $\mbox{det}\begin{pmatrix} \lambda-2 & -2 \\ 2 & -\lambda \end{pmatrix}$
$=(\lambda-4)(\lambda+1)(\lambda^2+2\lambda+4)=0$
となるので
$B$ の固有値は $4,-1,-1\pm\sqrt{3}i$ となる．
よって $A$ の固有値は $1,\dfrac{1}{6}, \dfrac{1\pm\sqrt{3}i}{6}$ となり，対角化可能である．

これから， $a_n〜d_n$ は
$p+q\cdot\dfrac{1}{6^n}+r\Bigl(\dfrac{1+\sqrt{3}i}{6}\Bigr)^n+s\Bigl(\dfrac{1-\sqrt{3}i}{6}\Bigr)^n$
となり， $n$ が3の倍数のとき
$p+q\cdot\dfrac{1}{6^n}+(r+s) \dfrac{1}{(-3)^n}$
の形をしていることがわかる．

もちろん，この係数の値は簡単に決まらないので真面目に解く方が速い訳なのだが．

[解答]

(1) $a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{3}(1-a_n)$ ， $a_0=0$ を解いて $a_n=\dfrac{2}{5}\Bigl(1-\dfrac{1}{6^n}\Bigr)$

(2) $b_{n+1}=\dfrac{1}{6}(a_n+2b_n+2d_n)$ ，
$c_{n+1}=\dfrac{1}{6}(a_n+2b_n+2c_n)$ ，
$d_{n+1}=\dfrac{1}{6}(a_n+2c_n+2d_n)$
により，
$b_{n+1}-c_{n+1}=-\dfrac{1}{3}(c_n-d_n)$ ，
$c_{n+1}-d_{n+1}=-\dfrac{1}{3}(d_n-b_n)$ ，
$d_{n+1}-b_{n+1}=-\dfrac{1}{3}(b_n-c_n)$ ，
となる．よって
$b_{n+3}-c_{n+3}=-\dfrac{1}{27}(b_n-c_n)$ ，
$c_{n+3}-d_{n+3}=-\dfrac{1}{27}(c_n-d_n)$ ，
となる． $b_0-c_0=1$ ， $c_0-d_0=0$ により， $n$ が3の倍数のとき
$b_n-c_n=\dfrac{1}{(-3)^n}$ ， $c_n-d_n=0$
となる．

(3) $a_n+b_n+c_n+d_n=1$ と(2)より
$b_n+2c_n=1-a_n=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{6^n}$
だから， $b_n-c_n=\dfrac{1}{(-3)^n}$ とあわせて
$c_n=d_n=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{15}\cdot\dfrac{1}{6^n}+\dfrac{1}{(-3)^{n+1}}$ ，
$b_n=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{15}\cdot\dfrac{1}{6^n}-\dfrac{2}{(-3)^{n+1}}$
となる．