[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1983年(昭和58年)東京大学-数学(理科)[2]

2023.08.23記

[2] 数列 $\{a_n\}$ において， $a_1=1$ であり， $n\geqq 2$ に対して $a_n$ は，次の条件(1)，(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという．

(1) $a_n$ は， $a_1$ ，……， $a_{n-1}$ のどの項とも異なる．

(2) $a_1$ ，……， $a_{n-1}$ のうちから重複なくどのように項を取り出しても，それらの和が $a_n$ に等しくなることはない．

このとき， $a_n$ を $n$ で表し，その理由を述べよ．

2020.11.24記

[解答]
2進法で書いてみると
$a_1=1$ より $a_2=10$ だから，この2つからできる数は $1,10,11$ だから $a_3=100$ となる．
$a_1=1，a_2=10，a_3=100$ からできる7つの数は $1〜111$ だから $a_4=1000$ となる．
$a_1〜a_4$ からできる15個の数は $1〜1111$ だから $a_5=10000$ となる．

と帰納的に考えることにより $a_n=2^{n-1}$ となる．

2023.08.23記

[別解]
問題文から $a_1〜a_{n-1}$ は全て自然数であり，
$a_1〜a_{n-1}$ のうち少なくとも1つ選ぶ組み合わせでできる和の種類が全部で $2^{n-1}-1$ 種類で全て異なるから $a_n\geqq 2^{n-1}$ でなければならず，もし $a_n=2^{n-1}$ とできればそれが答えとなるが， $a_n=2^{n-1}$ は条件を確かに満たしているので，これが答となる．