2005年(平成17年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[3] 関数 $f(x)$ を $f(x)=\dfrac{1}{2}x \{ 1+e^{-2(x-1)} \}$ とする．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(1) $x\gt \dfrac{1}{2}$ ならば $0\leqq f'(x)\lt \dfrac{1}{2}$ であることを示せ．

(2) $x_0$ を正の数とするとき，数列 $\{x_n\}$ （ $n=0$ ， $1$ ，…）を， $x_{n+1}=f(x_n)$ によって定める． $x_0\gt \dfrac{1}{2}$ であれば， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=1$ であることを示せ．

2021.01.31記

[解答]
(1) $f'(x)=\dfrac{1}{2}\{1+(1-2x)e^{-2(x-1)}\}$ ， $f''(x)=-2(1-x)e^{-2(x-1)}$ である．
$x\gt \dfrac{1}{2}$ のときの増減表は

$x$	(1/2)	…	$1$	…	$+\infty$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
$f'(x)$	$(1/2)$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$(1/2)$

となるので題意は示された．

(2) $f(1)=1$ であるから，平均値の定理により
$x_{n+1}-1=f(x_n)-f(1)=f'(c)(x_n-1)$
をみたす $c$ が $x_n$ と $1$ の間に存在する．

$x_n\gt \dfrac{1}{2}$ ならば $x_n$ と $1$ の間の数 $c$ も $c\gt \dfrac{1}{2}$ をみたすので(1)から $0\leqq f'(c)\lt \dfrac{1}{2}$ となる．よって
$|x_{n+1}-1|=|f'(c)|\cdot |x_n-1|\lt \dfrac{1}{2}|x_n-1|$
が成立する．このとき $x_{n+1}$ は $x_n$ よりも $1$ に近いので $x_{n+1}\gt \dfrac{1}{2}$ も成立する．これと $x_0\gt\dfrac{1}{2}$ により，帰納的に
$0\leqq |x_{n}-1|\lt \dfrac{1}{2^n}|x_0-1|$
が成立するので，はさみうちの原理により $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=1$ である．