[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1984年(昭和59年)東京大学-数学(文科)[1]

2023.08.25記

[1] $t$ を実数の定数として，関数 $f(x)=(x^2-3x+2)(x-t)$ を考える．いま $f'(x)=0$ の $2$ 個の解を $\alpha$ ， $\beta$ （ $\alpha\lt \beta$ ）と書くことにすれば，これらは $t$ の関数とみなすことができる．

$t$ の関数 $|t-\alpha|+|t-\beta|$ の $1\leqq t \leqq 3$ の範囲における最大値および最小値を求めよ．

2020.11.30記

[解答]
$f(x)=0$ の解は $x=1,2,t$ であり，
$\alpha+\beta=\dfrac{2t+6}{3}$ ， $\alpha\beta=\dfrac{3t+2}{3}$ であるから

(i) $1\leqq x\leqq 2$ のとき
$|t-\alpha|+|t-\beta|=|\beta-\alpha|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}$ $=\dfrac{2}{3}\sqrt{\Bigl(t-\dfrac{3}{2}\Bigr)+\dfrac{3}{4}}$

(ii) $2\leqq x\leqq 3$ のとき
$|t-\alpha|+|t-\beta|=2t-(\alpha+\beta)=\dfrac{4t-6}{3}$

となる．よって，最大値は $t=3$ で $2$ ，最小値は $t=\dfrac{3}{2}$ で $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$