1987年(昭和62年)東京大学-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[3] $t$ の関数 $f(t)$ を $f(t)=1+2at+b(2t^2-1)$ とおく．区間 $-1\leqq t\leqq 1$ のすべての $t$ に対して $f(t)\geqq 0$ であるような $a$ ， $b$ を座標とする点 $(a,b)$ の存在する範囲を図示せよ．

本問のテーマ

包絡線

2021.01.20記

包絡線

同じ年に京大理系でほとんど同じ問題が出題された．

[大人の解答]
$f(t)=1+2at+b(2t^2-1)=0$ と $f'(t)=2a+4bt=0$ から $t$ を消去すると，包絡線の式
$2a^2+4\Bigl(b-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2=1$
が得られる．この楕円 $2a^2+4\Bigl(b-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2=1$ と直線 $f(t)=0$ は接する．
接点は，楕円の $(u,v)$ における接線 $2ua+(2v-1)(2b-1)=1$ と $f(t)=0$ を比較して
$(u,v)=\Bigl(\dfrac{-2t}{2t^2+1},\dfrac{1}{2t^2+1}\Bigr)$ となる．

任意の $t$ について原点は $f(t)=1$ をみたすので，原点は直線の正領域にある．
よって，楕円の接線を $-1\leqq t\leqq 1$ で動かしたときに常に原点と同じ側にある領域が求める範囲である．

普通は，端点と極値で考える．

[解答]
$f(t)=2bt^2+2at+1-b$ であるから， $f(t)$ の $-1\leqq t\leqq 1$ における最小値は
$f(-1)$ または $f(1)$ または

「 $f\Bigl(-\dfrac{a}{2b}\Bigr)$ （但し $b\gt 0$ かつ $-1\leqq-\dfrac{a}{2b}\leqq 1$ ）」

である．よって求める条件は
$f(-1)\geqq 0$ かつ $f(1)\geqq 0$ かつ
「 $b\gt 0$ かつ $-2b\leqq a\leqq 2b$ ならば $f\Bigl(-\dfrac{a}{2b}\Bigr)\geqq 0$ 」

つまり，
$b\geqq-2a-1$ かつ $b\geqq 2a-1$ かつ
「 $b\gt 0$ かつ $-2b\leqq a\leqq 2b$ ならば $-\dfrac{a^2+2b^2-2b}{2b}\geqq 0$ 」
となる．整理して
$b\geqq-2a-1$ かつ $b\geqq 2a-1$ かつ
「 $b\gt 0$ かつ $-2b\leqq a\leqq 2b$ ならば $2a^2+4\Bigl(b-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2\leqq 1$ 」