[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1990年(平成2年)東京大学前期-数学(文科)

2024.01.04記

[1] 3次方程式 $x^3+3x^2-1=0$ の一つの解を $\alpha$ とする．

(1) ${(2\alpha^2+5\alpha-1)}^2$ を $a\alpha^2+b\alpha+c$ の形の式で表せ．ただし $a$ ， $b$ ， $c$ は有理数とする．

(2) 上の3次方程式の $\alpha$ 以外の二つの解を(1)と同じ形の式で表せ．

[2] $a$ ， $b$ ， $c$ を整数， $p$ ， $q$ ， $r$ を $p\lt 0\lt q\lt 1\lt r\lt 2$ をみたす実数とする．
関数 $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+c$ が次の条件(i)，(ii) をみたすように $a$ ， $b$ ， $c$ ， $p$ ， $q$ ， $r$ を定めよ．

(1) $f(x)=0$ は $4$ 個の相異なる実数解をもつ．

(2) 関数 $f(x)$ は $x=p$ ， $q$ ， $r$ において極値をとる．

[3] $V$ を一辺の長さが $1$ の正 $8$ 面体，すなわち $xyz$ 空間において $|x|+|y|+|z|\leqq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ をみたす点 $(x,y,z)$ の集合と合同な立体とする．

(1) $V$ の一つの面と平行な平面で $V$ を切ったときの切り口の周の長さは一定であることを示せ．

(2) 一辺の長さが1の正方形の穴があいた平面がある． $V$ をこの平面にふれることなく穴を通過させることができるか．結論と理由を述べよ．

[4] 平面 $\pi$ の上に等辺の長さが $1$ であるような直角二等辺三角形がある． $\pi$ 上の直線でこの直角二等辺三角形と頂点または一辺のみを共有するものを軸として，その三角形を回転させるときできる立体の体積の最大値，最小値を求めよ．

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