1979年(昭和54年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.19記

[1] $xy$ 平面上の4点 $\mbox{A}(0,0)$ ， $\mbox{B}(1,0)$ ， $\mbox{C}(1,1)$ ， $\mbox{D}(0,1)$ を頂点とする正方形を $\mbox{Q}$ とする．実数 $t$ に対して一次変換
$U_t=\begin{pmatrix} 1+t & t+t^2 \\ 0 & 1+t \end{pmatrix}$ ，
$V_t=\begin{pmatrix} 1+t & 0 \\ t+t^2 & 1+t \end{pmatrix}$ ，
を考え， $\mbox{Q}$ が $U_t$ によって写された図形と， $\mbox{Q}$ が $V_t$ によって写された図形との共通部分の面積を $S(t)$ とする． $t$ が $t\geqq 0$ の範囲を動くとき， $t$ の関数 $S(t)$ のグラフの概形を描き， $S(t)$ のこの範囲での最大値を求めよ．

本問のテーマ

剪断（sheer，ずらし変換）

2023.08.19記
$U_t$ ， $V_t$ は剪断と拡大の合成変換である．

[解答]
$A_t=\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ， $B_t=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix}$
とおくと， $U_t=(1+t)A_t$ ， $Ｖ_t=(1+t)B_t$ であるから，
$\mbox{Q}$ が $A_t$ によって写された図形と， $\mbox{Q}$ が $B_t$ によって写された図形との共通部分（その面積を $T(t)$ とする）を原点中心に $1+t$ 倍拡大したものが， $\mbox{Q}$ が $U_t$ によって写された図形と， $\mbox{Q}$ が $V_t$ によって写された図形との共通部分になる．
よって
$S(t)=(1+t)^2T(t)$
となる．

$\mbox{Q}$ が $A_t$ によって写された図形は（剪断の意味を考えればすぐにわかるが，計算しても），4点 $(0,0)$ ， $(1,0)$ ， $(1+t,1)$ ， $(t,1)$ を4頂点とする平行四辺形であり， $\mbox{Q}$ が $B_t$ によって写された図形は4点 $(0,0)$ ， $(1,t)$ ， $(1,1+t)$ ， $(0,1)$ を4頂点とする平行四辺形である．

よって
$0\leqq t\leqq 1$ のときは共有部分をもち，その面積は $(0,0)$ ， $(t,1)$ ， $(1,1)$ からなる3角形の面積の2倍の $1-t$ となる（ $T(t)=1-t$ ）．なお $t=1$ のときの共有部分は線分となり面積0となる．
$t\gt 1$ のときは共有部分をもたないので，共有部分面積は0である（ $T(t)=0$ ）．

以上から，
$S(t)=\left\{\begin{array}{ll} (1-t)(1+t)^2 & (0\leqq t\leqq 1) \\ 0 & (t\gt 0) \end{array}\right.$
となる．
$(1-t)(1+t)^2=-(t+1)^2(t-1)$ の極値が（3次関数が2×4の箱に閉じ込められることを用いると） $t=-1$ で極小値 $0$ ， $t=\dfrac{1}{3}$ で極大値 $\dfrac{32}{27}$ であることに注意すると，グラフは次図

よって $S(t)$ は $t=\dfrac{1}{3}$ で最大値 $\dfrac{32}{27}$ をとる．