[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1988年(昭和63年)東京大学-数学(理科)[4]

2023.08.29記

[4] $xy$ 平面上で原点から傾き $a$ （ $a\gt 0$ ）で出発し折れ線状に動く点 $\mbox{P}$ を考える．ただし，点 $\mbox{P}$ の $y$ 座標はつねに増加し，その値が整数になるごとに動く方向の傾きが $s$ 倍（ $s\gt 0$ ）に変化するものとする．

$\mbox{P}$ の描く折れ線が直線 $x=b$ （ $b\gt 0$ ）を横切るための $a$ ， $b$ ， $s$ に関する条件を求めよ．

2021.01.22記

[解答]
折れ線と $y=n$ の交点の $x$ 座標を $x_n$ とおくと，
$x_n=a^{-1}(1+s^{-1}+\cdots+s^{n-1})$
だから
$x_n\to\left\{\begin{array}{ll} +\infty & （0\lt s\leqq 1）\\ \dfrac{s}{a(s-1)} & （1\lt s）\end{array}\right.$ （ $n\to\infty$ ）
となり，求める条件は
「 $0\lt s\leqq 1$ 」または「 $1\lt s$ かつ $\dfrac{s}{a(s-1)}\gt b$ 」