1991年(平成3年)同志社大学工学部-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.04.10記

[1] $t=\cos x\sin y=\sin x+\cos y$ であるとき、

(1) $\sin x \cos y$ を $t$ で表せ。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2020.04.10記
(2) は難問。 $t$ のとりうる値の範囲を必要十分条件として求めるのは面倒。雑誌大学への数学でも、「 $-2(\sqrt{2}-1)\leqq t\leqq 2(\sqrt{2}-1)$ の等号成立は述べていますが、間の値を、本当にすべてとりうるのが、ちょっと心配です。」とある。ちょっとした工夫に気付かないと、必要十分の議論は難しい。

(1) $t=\cos x\sin y$ ， $s=\sin x+\cos y$ とおき、後で $s=t$ とする。 $u=\sin x\cos y$ とおくと、
$s^2-2u=(\sin x+\cos y)^2-2\sin x\cos y=\sin^2 x+\cos^2 y$
であるから、
$t^2=\cos^2 x\sin^2 y=(1-\sin^2 x)(1-\cos^2 y)=1-(s^2-2u)+u^2$
つまり、 $s^2+t^2=(u+1)^2$ となる。

ここで、 $|u|=|\sin x|\cdot|\cos y|\leqq 1$ により、 $u+1\geqq 0$ であるから、 $\sin x\cos y=\sqrt{2(s^2+t^2)}-1$ となる。

今、 $s=t$ より $\sin x\cos y=\sqrt{2}|t|-1$ となる。

(2) 必要十分条件としては甘いが、次のように解いておく。

$\sin(x+y)=\sqrt{2}|t|+t-1$ および、 $-1\leqq\sin(x+y)\leqq 1$ から $-2(\sqrt{2}+1)\leqq t\leqq 2(\sqrt{2}-1)$ であり、
$\sin(y-x)=\sqrt{2}|t|-t-1$ および、 $-1\leqq\sin(y-x)\leqq 1$ から $-2(\sqrt{2}-1)\leqq t\leqq 2(\sqrt{2}+1)$ であるから、
$-2(\sqrt{2}-1)\leqq t\leqq 2(\sqrt{2}-1)$ であることが必要である。

この範囲にある任意の $t$ に対して、
$\sin(x+y)$ ， $\sin(y-x)$ が絶対値が1以下の値として一意に決まるので、この値を実現する $(x,\,y)$ が少なくとも1つ存在する。
つまり、 $t,\,u$ の値が一意に決まり、その値を実現する $(x,\,y)$ が少なくとも1つ存在する。

そして(1)の結果から、 $|s|=|t|$ が成立している。

なお、(2) は(1)の誘導を無視して次のようにやれば、必要十分条件はほぼ自明になる。

(2) $z=\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{\pi}{4}$ ， $y=\dfrac{x-y}{2}+\dfrac{\pi}{4}$ とおくと、 $x=z+w-\dfrac{\pi}{2}$ ， $y=z-w$ であるから、
$\cos x\sin y =\sin^2 z-\sin^2 w$ ， $\sin x+\cos y=2\sin z\sin w$ が成立する。

ここで $t=\cos x\sin y=\sin x+\cos y$ により、
$\sin^2 z-\sin^2 w=2\sin z\sin w$ ，つまり $\sin^2 z -2\sin w \sin z -\sin^2 w=0$ から $\sin z =(1\pm \sqrt{2})\sin w$ が成立する。