1992年(平成4年)東京大学前期-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[5] $xy$ 平面において，曲線 $y=\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{1}{2x}$ 上の点， $\left(1,\dfrac{2}{3}\right)$ を出発し，この曲線上を進む点 $\mbox{P}$ がある．出発してから $t$ 秒後の $\mbox{P}$ の速度 $\vec{v}$ の大きさは $\dfrac{t}{2}$ に等しく， $\vec{v}$ の $x$ 成分はつねに正または $0$ であるとする．

(1) 出発してから $t$ 秒後の $\mbox{P}$ の位置を $(x,y)$ として， $x$ と $t$ の間の関係式を求めよ．

(2) $\vec{v}$ がベクトル $(8,15)$ と平行になるのは出発してから何秒後か．

2024.01.07記

[解答]
(1) 曲線の $x=1$ から $x=X$ （ $X\geqq 1$ ）までの道程は
$\displaystyle\int_1^X \sqrt{1+\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2x^2}\right)^2}\,dx$ $=\displaystyle\int_1^X \left(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2x^2}\right)\,dx$ $=\left[\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{1}{2x}\right]_1^X$ $=\dfrac{X^3}{6}-\dfrac{1}{2X}+\dfrac{1}{3}$
である．また出発してから $t$ 秒後の道程は
$\displaystyle\int_0^t \dfrac{t}{2}\, dt=\dfrac{t^2}{4}$
であるから， $x$ と $t$ の関係式は
$t=\sqrt{\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{3}}$
となる．

(2) $y'=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2x^2}$ （ $x\geqq 1$ ）は単調増加である（∵ $x^2$ ， $-\dfrac{1}{x^2}$ が単調増加）．よって $x\geqq 1$ で $y'=\dfrac{15}{8}$ となる $x$ は高々一つであり， $x=2$ が条件をみたすので， $x=2$ である．よって
$t=\sqrt{\dfrac{16}{3}-1+\dfrac{4}{3}}=\sqrt{\dfrac{17}{3}}=\dfrac{\sqrt{51}}{3}$
となる．