1992年(平成4年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[2] $xy$ 平面において， $x$ 座標， $y$ 座標ともに整数であるような点を格子点と呼ぶ．格子点を頂点に持つ三角形 $\mbox{ABC}$ を考える．

(1) 辺 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{AC}$ それぞれの上に両端を除いて奇数個の格子点があるとすると，辺 $\mbox{BC}$ 上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ．

(2) 辺 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{AC}$ 上に両端を除いて丁度 $3$ 点ずつ格子点が存在するとすると，三角形 $\mbox{ABC}$ の面積は $8$ で割り切れる整数であることを示せ．

2020.09.26記

[解答]
格子点 $\rm X，Y$ について $\vec{\rm XY}=(p,q)$ とするとき，線分 $\rm XY$ 上の両端を除く格子点の数は ${\rm GCD}(p,q)-1$ 個である…（★）．

(1) （★）より， $\vec{\rm AB}$ の $x$ 成分と $y$ 成分の最大公約数が偶数， $\vec{\rm AC}$ の $x$ 成分と $y$ 成分の最大公約数が偶数である．よって $\vec{\rm BC}=\vec{\rm AC}-\vec{\rm AB}$ の $x$ 成分と $y$ 成分はともに偶数となるので，最大公約数も偶数となる．このことから
$\mbox{BC}$ 上にも両端を除いて奇数個の格子点がある．

よって題意は示された．

(2) （★）より， $\vec{\rm AB}=(a,b)^{\top}$ において $a$ と $b$ の最大公約数が4だから $a$ と $b$ はそれぞれ4の倍数である．同様に $\vec{\rm AC}=(c,d)^{\top}$ において $c$ と $d$ の最大公約数がが4だから $c$ と $d$ もそれぞれ4の倍数である．

よって，三角形 $\rm ABC$ の面積 $\dfrac{1}{2}|ad-bc|=\dfrac{1}{2}|16の倍数-16の倍数|=8の倍数$ となる．

（★）の証明は， $g={\rm GCD}(p,q)$ ， $p=gp'$ ， $q=gq'$ とすると
$\left(x,\dfrac{q}{p}x\right)=\left(x,\dfrac{q'}{p'}x\right)$ （ $0\lt x\lt p$ ）
なる格子点は $\dfrac{q'}{p'}$ が既約分数であることから $x$ が $p'$ の倍数であることが必要十分となる．よって $x=p'，2p'，…，(g-1)p'$ の $g-1$ 個だけ格子点があることになる．