[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2004年(平成16年)東京大学前期-数学(文科)[3]

2024.02.18記

[3] 関数 $f(x)$ ， $g(x)$ ， $h(x)$ を次で定める．
$f(x)=x^3-3x$ ，
$g(x)=\{ f(x) \}^3-3f(x)$ ，
$h(x)=\{ g(x) \}^3-3g(x)$
このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $a$ を実数とする． $f(x)=a$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

(2) $g(x)=0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

(3) $h(x)=0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

2021.01.29記
2004年(平成16年)東京大学前期-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の一部．

[解答]
$x\gt 2$ なら $f(x)\gt 2$ で単調増加より，同様に $g(x)\gt 2$ ， $h(x)\gt 2$ で単調増加

$|x|\leqq 2$ なら $x=2\cos\theta$ とおくと $f(x)=2\cos 3\theta$ ， $g(x)=2\cos 9\theta$ ， $h(x)=2\cos 27\theta$ となり，
$|f(x)|\leqq 2$ ， $|g(x)|\leqq 2$ ， $|h(x)|\leqq 2$ ．

特に $x=2$ なら $f(2)=2$ より $g(2)=g(2)=2$ ， $x=-2$ なら $f(-2)=-2$ より $g(-2)=h(-2)=-2$ である．

よって $f(x)=a$ をみたす実数 $x$ の個数は
$|a|\gt 2$ のときは $1$ 個
$|a|\lt 2$ のときは $3$ 個
$|a|=2$ のときは $\dfrac{3+1}{2}=2$ 個（ $a\lt 2$ の場合の片端を除いて2つずつ交点が重なる）

$g(x)=0$ をみたす実数 $x$ の個数は $\cos9\theta=0$ をみたす $0\leqq \theta\leqq \pi$ の個数なので $9$ 個

$h(x)=0$ をみたす実数 $x$ の個数は $\cos27\theta=0$ をみたす $0\leqq \theta\leqq \pi$ の個数なので $27$ 個