1994年(平成6年)東京大学前期-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.10記

[5] 大量のカードがあり，各々のカードに $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ の数字のいずれかの一つが書かれている．これらのカードから無作為に $1$ 枚をひくとき，どの数字のカードをひく確率も正である．さらに， $3$ の数字のカードをひく確率は $p$ であり， $1$ ， $2$ ， $5$ ， $6$ の数字のカードをひく確率はそれぞれ $q$ に等しいとする．

これらのカードから $1$ 枚をひき，その数字 $a$ を記録し，このカードをもとに戻して，もう $1$ 枚ひき，その数字を $b$ とする．このとき， $a+b\leqq 4$ となる事象を $A$ ， $a\lt b$ となる事象を $B$ とし，それぞれのおこる確率を $P(A)$ ， $P(B)$ と書く．

(1) $E=2P(A)+P(B)$ とおくとき， $E$ を $p$ ， $q$ で表せ．

(2) $\dfrac{1}{p}$ と $\dfrac{1}{q}$ がともに自然数であるとき， $E$ の値を最大にするような $p$ ， $q$ を求めよ．

2024.01.12記

[解答]
(1) $4$ の数字のカードをひく確率を $r$ とすると $r=1-p-4q$ である．
$P(A)=q(2q+p)+q(2q)+pq=4q^2+2pq$
であり，
$P(B)=\dfrac{1}{2}\{1-(p^2+4q^2+r^2)\}$
であるから，
$2E=4P(A)+2P(B)=16q^2+8pq+\{1-(p^2+4q^2+r^2)\}$ $=-2p^2-4q^2+2p+8q$
となり，
$E=-p^2-2q^2+p+4q$
となる．

(2) $p=\dfrac{1}{m}$ ， $q=\dfrac{1}{n}$ （ $m，n$ は2以上の自然数）とおくと $p+4q\lt 1$ から $n+4m\lt mn$ であるから，
$E=-\left(\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{2}\right)^2+2\left(\dfrac{1}{n}-1\right)^2+\dfrac{9}{4}$
の， $n+4m\lt mn$ における最大値を求めれば良い．

ここで， $m$ を固定すると $n\gt \dfrac{4m}{m-1}=4+\dfrac{4}{m-1}$ における $E$ の最大値を求めれば良いが，これは $n$ が最小のときに最大となるので．
$m=2$ のとき $n=9$ で $E=\dfrac{217}{324}=0.66…$ ，
$m=3$ のとき $n=7$ で $E=\dfrac{332}{441}=0.75…$ ，
$m=4$ のとき $n=6$ で $E=\dfrac{460}{576}=0.79…$ ，
$m=5$ のとき $n=6$ で $E=\dfrac{694}{900}=0.77…$
となり，
$m\geqq 6$ のとき $n=5$ で $E=-\left(\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{32}{25}+\dfrac{9}{4}$
は $m=6$ のときに最大となり $E=\dfrac{773}{900}=0.85…$
となる．

以上から， $p=\dfrac{1}{6}$ ， $q=\dfrac{1}{5}$ のときに $E$ は最大となる．