2005年(平成17年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[2] $|z|\gt \dfrac{5}{4}$ となるどのような複素数 $z$ に対しても $w=z^2-2z$ とは表されない複素数 $w$ 全体の集合を $T$ とする．すなわち，
$T = \bigg\{ w \,\bigg| \, w=z^2-2z\quad ならば \quad |z|\leqq\dfrac{5}{4} \bigg\}$
とする．このとき， $T$ に属する複素数 $w$ で絶対値 $|w|$ が最大になるような $w$ の値を求めよ．

2021.01.31記

[解答]
$z$ の2次方程式 $z^2-2z-w=0$ の解を $\alpha，\beta$ とするとき，
$\alpha+\beta=2，\alpha\beta=-w$
が成立する．このとき
$|\alpha|，|\beta|\leqq\dfrac{5}{4}$ となる $w$ が存在するための条件は
$|\alpha|，|2-\alpha|\leqq\dfrac{5}{4}$ となる $\alpha$ に対して $w=\alpha(\alpha-2)$ ] が成立していることである．

このとき， $|w|$ の範囲ではなく最大値のみを求めれば良いので，
$|w|=|\alpha|\,|\alpha-2|\leqq \dfrac{25}{16}$
の等号が成立するような複素数 $\alpha$ が存在することを言えば十分であるが，これは
$|\alpha|，|2-\alpha|=\dfrac{5}{4}$ （2円の交点）により $\alpha=1\pm\dfrac{3}{4}i$ のときにのみ成立する．
いずれの場合も $w=-\dfrac{25}{16}$ となるので，求める $w$ は $w=-\dfrac{25}{16}$