2003年(平成15年)東京大学前期-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[1] $a$ ， $b$ ， $c$ を実数とし， $a\neq0$ とする．
2次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ が次の条件
(A)，(B)を満たすとする．

(A) $f(-1)=-1$ ， $f(1)=1$ ， $f'(1)\leqq 6$

(B) $-1\leqq x\leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対し， $f(x)\leqq 3x^2-1$

このとき，積分 $I=\displaystyle\int_{-1}^{1} {(f'(x))}^2 \,dx$ の値のとりうる範囲を求めよ．

2024.02.18記
2003年(平成15年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
に条件を付け加えたもの．

[解答]

(A) により $f(x)=a(x+1)(x-1)+x$ とおくことができ， $f'(1)=2a+1\leqq 6$ から $a\leqq\dfrac{5}{2}$ である．

(B) により $g(x)=(3-a)x^2-x+a-1\leqq 0$ が $-1\leqq x\leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対し成立する $a$ の範囲を求めれば良い．(A) により $3-a\gt 0$ だから $g(x)$ は下に凸であり，軸 $x=\dfrac{1}{2(a-3)}$ は $a\leqq\dfrac{5}{2}$ で $0\lt \dfrac{1}{2(a-3)}\leqq 1$ と $-1\leqq x\leqq 1$ の範囲内にあるので， $g(x)$ が $-1\leqq x\leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対し成立する必要十分条件は $g(x)=0$ の判別式 $1-4(3-a)(a-1)=4x^2-16x+13=4(x-2)^2-3\geqq 0$ である．

よって $\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}\leqq a\leqq\dfrac{4+\sqrt{3}}{2}$ となり， $a\leqq\dfrac{5}{2}$ とあわせて
$\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}\leqq a\leqq \dfrac{5}{2}$
となる．

以上から
$I=\displaystyle\int_{-1}^{1} (2ax+1)^2 \,dx$ $=4a^2\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2 \,dx$ $+4a\displaystyle\int_{-1}^{1} x \,dx$ $\displaystyle\int_{-1}^{1} \,dx$ $=\dfrac{8}{3}a^2+2$
の値の $\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}\leqq a\leqq \dfrac{5}{2}$ における範囲を求めれば良く，それは
$\dfrac{8}{3}\left(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}\right)^2+2$ $\leqq I$ $\leqq \dfrac{8}{3}\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+2$
つまり
$\dfrac{44-16\sqrt{3}}{3}$ $\leqq I$ $\leqq \dfrac{56}{3}$
である．