1995年(平成7年)東京大学後期-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.13記

[1] パスカル三角形の第 $n$ 行の部分和
$P_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_n\mbox{C}_{3k}$ ， $Q_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_n\mbox{C}_{3k+1}$ ， $R_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_n\mbox{C}_{3k+2}$
として数列 $\{P_n\}$ ， $\{Q_n\}$ ， $\{R_n\}$ を定義する．ただし， $k\gt n$ のとき ${}_n\mbox{C}_{k}=0$ とする．

(1) $P_{n+1}$ ， $Q_{n+1}$ ， $R_{n+1}$ を $P_n$ ， $Q_n$ ， $R_n$ の式として表せ．

(2) 一般項 $P_n$ ， $Q_n$ ， $R_n$ を求めよ．

(3) $P_{12}$ ， $Q_{12}$ ， $R_{12}$ を求めよ．

1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 456 28 8 1

[2] 平面上に $2$ 点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ があり， $\mbox{P}$ と $\mbox{Q}$ の距離は $1$ であるとする．このとき，次の（条件）を満たす三角形 $\mbox{ABC}$ の面積 $S$ の最大値を求めたい．

（条件）三角形 $\mbox{ABC}$ は与えられた平面上にあり，各頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ から $\mbox{P}$ までの距離または $\mbox{Q}$ までの距離のうち，少なくとも一方は $1$ 以下である．

(1) $\mbox{P}$ を中心とする半径 $1$ の円周を $\rm E$ ， $\mbox{Q}$ を中心とする半径 $1$ の円周を $\rm F$ とする．上の（条件）の下で最大面積をもつ三角形の頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ はそれぞれ $\rm E$ または $\rm F$ の上にあることを示せ．

(2) この二つの頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ は円周 $\rm E$ 上にあるとして，この円の中心 $\mbox{P}$ から弦 $\mbox{AB}$ におろした垂線の長さを $p$ とする． $p$ を固定したとき，（条件）を満たす三角形 $\mbox{ABC}$ の面積 $S$ が最大となるならば，直線 $\mbox{AB}$ と直線 $\mbox{PQ}$ は直交することを示せ．

(3) （条件）を満たす三角形 $\mbox{ABC}$ の面積 $S$ の最大値を求めよ．

[3] $1$ から $13$ まで，それぞれ違った数字が書かれたカードが $1$ 枚ずつ $13$ 枚ある．このカードを使って， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ の $2$ 人が次のルールでゲームをする．

$\circ$ $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ は最初に $2$ 枚ずつカードを持つ．相手のカードの数字は見えない．

$\circ$ まず， $\mbox{A}$ が $1$ 枚のカードを数字が見えるようにして出し， $\mbox{B}$ はそれを見て $1$ 枚のカードを出す．数字の大きいカードを出した者が $1$ 点を得る．

$\circ$ 次に，残りのカードを出しあって，数字の大きいカードを出した者が $1$ 点を得る．

$\circ$ この際， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ はおのおのの得点が最大となるようにカードを出すものとする．

(1) カードが配られた後， $\mbox{A}$ は手持ちのカードのうち，数字の大きいものを最初に出した方が有利か，不利か，あるいはどちらを出しても同じか．

(2) $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ に無作為に $2$ 枚ずつカードを配った場合， $\mbox{A}$ の得る点数の期待値を求めよ．

(3) $\mbox{A}$ はカードの数字の合計が $14$ となるような $2$ 枚のカードを最初に選んで持っているものとする． $\mbox{B}$ は残りのカードから無作為に $2$ 枚のカードを選んでゲームを行なう．この場合， $\mbox{A}$ ははじめにどのようにカードを選べば $\mbox{A}$ の得る点数の期待値が最大となるか，また最小となるか．それぞれの場合の得点の期待値を求めよ．

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