1995年(平成7年)東京大学後期-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.13記

[1] パスカル三角形の第 $n$ 行の部分和
$P_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_n\mbox{C}_{3k}$ ， $Q_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_n\mbox{C}_{3k+1}$ ， $R_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_n\mbox{C}_{3k+2}$
として数列 $\{P_n\}$ ， $\{Q_n\}$ ， $\{R_n\}$ を定義する．ただし， $k\gt n$ のとき ${}_n\mbox{C}_{k}=0$ とする．

(1) $P_{n+1}$ ， $Q_{n+1}$ ， $R_{n+1}$ を $P_n$ ， $Q_n$ ， $R_n$ の式として表せ．

(2) 一般項 $P_n$ ， $Q_n$ ， $R_n$ を求めよ．

(3) $P_{12}$ ， $Q_{12}$ ， $R_{12}$ を求めよ．

1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 456 28 8 1

2024.01.14記
誘導の乗らないのであれば，次のような有名な解答がある．

[うまい解答]
$\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくと，
$(-\overline{\omega})^{n}=(-\omega^2)^{n}=(1+\omega)^n=P_n+Q_n\omega+R_n\omega^2$ …①，
$(-\omega)^{n}=(1+\omega^2)^n=P_n+Q_n\omega^2+R_n\omega$ …②，
$2^n=(1+1)^n=P_n+Q_n+R_n$ …③
である．

(2) 連立方程式①②③を解いて
$P_n=\dfrac{2^n+(-\omega)^{n}+(-\overline{\omega})^{n}}{3}$ ，
$Q_n=\dfrac{2^n+\omega(-\omega)^{n}+\overline{\omega}(-\overline{\omega})^{n}}{3}$ $Q_n=\dfrac{2^n-(-\omega)^{n+1}-(-\overline{\omega})^{n+1}}{3}$ ，
$R_n=\dfrac{2^n+\overline{\omega}(-\omega)^{n}+\omega(-\overline{\omega})^{n}}{3}$ $Q_n=\dfrac{2^n-(-\omega)^{n-1}-(-\overline{\omega})^{n-1}}{3}$
となる．

(3) $P_{12}=\dfrac{4096+1+1}{3}=1366$ ， $Q_{12}=\dfrac{4096+\omega+\overline{\omega}}{3}=1365$ ， $R_{12}=\dfrac{4096+\overline{\omega}+\omega}{3}=1365$ となる．

(1) ①より
$P_{n+1}+Q_{n+1}\omega+R_{n+1}\omega^2$ $=(1+\omega)(P_{n}+Q_{n}\omega+R_{n}\omega^2)$ ，
つまり
$P_{n+1}+Q_{n+1}\omega+R_{n+1}\omega^2$ $=(P_n+R_n)+(P_n+Q_n)\omega+(Q_n+R_n)\omega^2$
が成立する（ここで， $1，\omega，\omega^2$ の係数比較をしては間違い）．

この2倍の実部と虚部を比較すると
$2P_{n+1}-Q_{n+1}-R_{n+1}=P_n+R_n-2Q_n$ …④，
$Q_{n+1}-R_{n+1}$ $=P_n-R_n$ …⑤
が成立し，③より
$P_{n+1}+Q_{n+1}+R_{n+1}$ $=2(P_{n}+Q_{n}+R_n)$ …⑥
が成立するので，

④ $+$ ⑥から $P_{n+1}$ $=P_{n}+R_n$
となり，これを⑥に代入すると
$Q_{n+1}+R_{n+1}$ $=P_{n}+2Q_{n}+R_n$ …⑦
が成立する．これと⑤より
$Q_{n+1}$ $=P_{n}+Q_{n}$ ， $R_{n+1}$ $=Q_{n}+R_n$
が成立する．

[解答]
(1) ${}_{n+1}\mbox{C}_r={}_{n}\mbox{C}_{r-1}+{}_{n}\mbox{C}_r$
（ ${}_{n}\mbox{C}_{-1}=0$ とする）であるから，
$P_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} {}_{n+1}\mbox{C}_{3k}$ $=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} {}_{n}\mbox{C}_{3k}$ $+\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} {}_{n}\mbox{C}_{3k-1}$ $=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mbox{C}_{3k}$ $+\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mbox{C}_{3k+2}$ $=P_n+R_n$
であり，同様に， $Q_{n+1}=Q_n+P_n$ ， $R_{n+1}=R_n+Q_n$ となる．

(2) (1)より
$P_{n+1}+Q_{n+1}+R_{n+1}$ $=2(P_{n}+Q_{n}+R_n)$
であるから，
$P_n+Q_n+R_n=2^n$
が成立する．

また(1)より
$P_{n+1}-Q_{n+1}$ $=R_n-Q_n$ ， $Q_{n+1}-R_{n+1}$ $=P_n-R_n$ ， $R_{n+1}-P_{n+1}$ $=Q_n-P_n$
も成立し，これを繰り返し用いると
$P_{n+6}-Q_{n+6}$ $=P_n-Q_n$ ， $Q_{n+6}-R_{n+6}$ $=Q_n-R_n$ ， $R_{n+6}-P_{n+6}$ $=R_n-P_n$
と差が周期6であることがわかる．ここで
$Q_n-P_n=x_n$ とおくと，これは $0，1，1，0，-1，-1$ を繰り返し，
$R_n-P_n=y_n$ とおくと，これは $-1，0，1，1，0，-1$ を繰り返す．

$P_n=\dfrac{2^n-(x_n+y_n)}{3}$ ， $Q_n=\dfrac{2^n+(2x_n-y_n)}{3}$ ， $R_n=\dfrac{2^n+(-x_n+2y_n)}{3}$

であるから， $p_n=-(x_n+y_n)$ ， $q_n=2x_n-y_n)$ ， $r_n=-x_n+2y_n$ とおくと
$p_n$ は $1，-1，-2，-1，1，2$ を繰り返す数列，
$q_n$ は $1，2，1，-1，-2，-1$ を繰り返す数列，
$r_n$ は $-2，-1，1，2，1，-1$ を繰り返す数列
であり，これらを用いて
$P_n=\dfrac{2^n+p_n}{3}$ ， $Q_n=\dfrac{2^n+q_n}{3}$ ， $R_n=\dfrac{2^n+r_n}{3}$
となる．

(3) $P_{12}=\dfrac{4096+2}{3}=1366$ ， $Q_{12}=\dfrac{4096-1}{3}=1365$ ， $R_{12}=\dfrac{4096-1}{3}=1365$ となる．